A partir das relações:
obtenha:
Passo 1
O enunciado nos dá as identidades trigonométricas
e pede para obter uma expressão para
.
Informações relevantes: temos duas fórmulas de soma de ângulos; as incógnitas na resposta devem envolver ,
e
. A tarefa é reescrever o produto
de forma mais conveniente (uma soma de cossenos).
Informações relevantes: temos duas fórmulas de soma de ângulos; as incógnitas na resposta devem envolver
Passo 2
Estratégia prática (apenas a ação, a explicação segue): é comum combinar as fórmulas de cosseno para soma e para diferença de ângulos para transformar produto em soma. Para aplicar isso, vamos usar as substituições
ou seja, trabalharemos com
e
com
e
definidos acima. Aqui
é o ângulo,
e
são inteiros (ou reais) que multiplicam
.
Passo 3
Escrevendo a identidade de soma de cossenos com
e
, temos
Para ficar claro: a expressão à esquerda é
.
Passo 4
Agora obtenha a fórmula para a diferença. Use
e as paridades
,
. Assim,
Aplicando
e
, obtemos
A expressão à esquerda é
.
Passo 5
Some as duas identidades obtidas nos passos anteriores. Escrevendo-as uma abaixo da outra:
Somando membro a membro, os termos com
se cancelam:
Aqui fizemos uma simples soma algébrica: o
de uma equação somado com o
da outra dá zero, sobrando
.
Passo 6
Isolando
da igualdade do passo anterior, dividimos ambos os lados por
:
Pronto — temos a fórmula que transforma produto de cossenos em soma de cossenos. Vou dar um exemplo numérico rápido para você checar: com
,
e
(ou
rad), a fórmula prevê que
; você pode calcular ambos os lados com valores conhecidos de cosseno e verá que coincidem.