A partir das relações:
\cos (a+b)=\cos (a) \cos (b)-\sin (a) \sin (b), \quad \sin (a+b)=\sin (a) \cos (b)+\cos (a) \sin (b)
obtenha:
\cos (m \theta) \cos (n \theta)

Passo 1

O enunciado nos dá as identidades trigonométricas
\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b),
\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)
e pede para obter uma expressão para \cos(m\theta)\cos(n\theta).
Informações relevantes: temos duas fórmulas de soma de ângulos; as incógnitas na resposta devem envolver m, n e \theta. A tarefa é reescrever o produto \cos(m\theta)\cos(n\theta) de forma mais conveniente (uma soma de cossenos).

Passo 2

Estratégia prática (apenas a ação, a explicação segue): é comum combinar as fórmulas de cosseno para soma e para diferença de ângulos para transformar produto em soma. Para aplicar isso, vamos usar as substituições
a = m\theta,\qquad b = n\theta,
ou seja, trabalharemos com \cos(a+b) e \cos(a-b) com a e b definidos acima. Aqui \theta é o ângulo, m e n são inteiros (ou reais) que multiplicam \theta.

Passo 3

Escrevendo a identidade de soma de cossenos com a=m\theta e b=n\theta, temos
\cos\big((m\theta)+(n\theta)\big)=\cos(m\theta)\cos(n\theta)-\sin(m\theta)\sin(n\theta).
Para ficar claro: a expressão à esquerda é \cos((m+n)\theta).

Passo 4

Agora obtenha a fórmula para a diferença. Use \cos(a-b)=\cos(a+(-b)) e as paridades \cos(-b)=\cos(b), \sin(-b)=-\sin(b). Assim,
\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b).
Aplicando a=m\theta e b=n\theta, obtemos
\cos\big((m\theta)-(n\theta)\big)=\cos(m\theta)\cos(n\theta)+\sin(m\theta)\sin(n\theta).
A expressão à esquerda é \cos((m-n)\theta).

Passo 5

Some as duas identidades obtidas nos passos anteriores. Escrevendo-as uma abaixo da outra:
\cos((m+n)\theta)=\cos(m\theta)\cos(n\theta)-\sin(m\theta)\sin(n\theta),
\cos((m-n)\theta)=\cos(m\theta)\cos(n\theta)+\sin(m\theta)\sin(n\theta).
Somando membro a membro, os termos com \sin(m\theta)\sin(n\theta) se cancelam:
\cos((m+n)\theta)+\cos((m-n)\theta)=2\cos(m\theta)\cos(n\theta).
Aqui fizemos uma simples soma algébrica: o -\sin\sin de uma equação somado com o +\sin\sin da outra dá zero, sobrando 2\cos(m\theta)\cos(n\theta).

Passo 6

Isolando \cos(m\theta)\cos(n\theta) da igualdade do passo anterior, dividimos ambos os lados por 2:
\cos(m\theta)\cos(n\theta)=\frac{1}{2}\big(\cos((m+n)\theta)+\cos((m-n)\theta)\big).
Pronto — temos a fórmula que transforma produto de cossenos em soma de cossenos. Vou dar um exemplo numérico rápido para você checar: com m=2, n=1 e \theta=30^\circ (ou \theta=\pi/6 rad), a fórmula prevê que \cos(2\theta)\cos(\theta)=\tfrac{1}{2}[\cos(3\theta)+\cos(\theta)]; você pode calcular ambos os lados com valores conhecidos de cosseno e verá que coincidem.

Resposta

\cos(m\theta)\cos(n\theta)=\dfrac{1}{2}\big(\cos((m+n)\theta)+\cos((m-n)\theta)\big)

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