A partir das relações:
\cos (a+b)=\cos (a) \cos (b)-\sin (a) \sin (b), \quad \sin (a+b)=\sin (a) \cos (b)+\cos (a) \sin (b)
obtenha:
\cos (m \theta) \sin (n \theta)

Passo 1

O enunciado nos dá as identidades trigonométricas
\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b),
\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b),
e pede para obter a expressão de \cos(m\theta)\sin(n\theta). As informações relevantes são: as duas fórmulas acima (fornecidas) e o termo que queremos escrever em termos de somas/ diferenças de funções trigonométricas (produto para soma).

Passo 2

Para simplificar a notação, faça a substituição
x = m\theta,\qquad y = n\theta.
Isto transforma o objetivo em escrever \cos(x)\sin(y) em termos de senos de somas e diferenças. Substituir é só para manipular as fórmulas de maneira mais clara — no final voltamos para m\theta e n\theta.

Passo 3

Use a identidade fornecida para \sin(x+y):
\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y).
Agora obtenha também a identidade para \sin(x-y). Podemos usar a mesma fórmula tomando y por -y e lembrando que \sin(-y)=-\sin(y) e \cos(-y)=\cos(y). Assim:
\sin(x-y)=\sin(x)\cos(y)-\cos(x)\sin(y).

Passo 4

Agora subtraia a segunda igualdade da primeira para eliminar o termo \sin(x)\cos(y):
\sin(x+y)-\sin(x-y) = \big(\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)\big) - \big(\sin(x)\cos(y)-\cos(x)\sin(y)\big).
No lado direito, \sin(x)\cos(y) cancela e sobra o dobro do outro termo:
\sin(x+y)-\sin(x-y) = 2\cos(x)\sin(y).

Passo 5

Isole \cos(x)\sin(y) dividindo por 2:
\cos(x)\sin(y) = \tfrac{1}{2}\big(\sin(x+y)-\sin(x-y)\big).
Esta é a fórmula produto-para-soma que procurávamos, escrita para x e y.

Passo 6

Volte à notação original substituindo x=m\theta e y=n\theta. Assim:
\cos(m\theta)\sin(n\theta) = \tfrac{1}{2}\big(\sin((m+n)\theta)-\sin((m-n)\theta)\big).
Dica rápida para a prova: memorize a forma geral \cos A\sin B=\tfrac{1}{2}(\sin(A+B)-\sin(A-B)); quando precisar, basta aplicar com A=m\theta e B=n\theta. Você consegue — respira fundo e repete alguns exemplos no rascunho que entra.

Resposta

\displaystyle \cos(m\theta)\sin(n\theta)=\tfrac{1}{2}\big(\sin((m+n)\theta)-\sin((m-n)\theta)\big)

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