A partir das relações:
obtenha:
Passo 1
O enunciado nos dá as identidades trigonométricas
e pede para obter a expressão de
. As informações relevantes são: as duas fórmulas acima (fornecidas) e o termo que queremos escrever em termos de somas/ diferenças de funções trigonométricas (produto para soma).
Passo 2
Para simplificar a notação, faça a substituição
Isto transforma o objetivo em escrever
em termos de senos de somas e diferenças. Substituir é só para manipular as fórmulas de maneira mais clara — no final voltamos para
e
.
Passo 3
Use a identidade fornecida para
:
Agora obtenha também a identidade para
. Podemos usar a mesma fórmula tomando
por
e lembrando que
e
. Assim:
Passo 4
Agora subtraia a segunda igualdade da primeira para eliminar o termo
:
No lado direito,
cancela e sobra o dobro do outro termo:
Passo 5
Isole
dividindo por
:
Esta é a fórmula produto-para-soma que procurávamos, escrita para
e
.
Passo 6
Volte à notação original substituindo
e
. Assim:
Dica rápida para a prova: memorize a forma geral
; quando precisar, basta aplicar com
e
. Você consegue — respira fundo e repete alguns exemplos no rascunho que entra.