A partir das relações:
\cos (a+b)=\cos (a) \cos (b)-\sin (a) \sin (b), \quad \sin (a+b)=\sin (a) \cos (b)+\cos (a) \sin (b)
obtenha:
\sin ^{2}(\theta)

Passo 1

O enunciado dá as relações de soma de ângulos:
\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b),
\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b).
O que pede é obter uma expressão para \sin^{2}(\theta).
Lista das informações relevantes: as duas fórmulas acima e a incógnita \sin^{2}(\theta). Não há outras condições explícitas.

Passo 2

Vamos aplicar as fórmulas dadas escolhendo a=\theta e b=\theta (ou seja, somando o mesmo ângulo consigo). Isso é permitido nas fórmulas de soma de ângulos: basta substituir a e b por \theta. Substituindo em \cos(a+b) obtemos:
\cos(2\theta)=\cos(\theta)\cos(\theta)-\sin(\theta)\sin(\theta).
Agora escrevemos isso de forma mais compacta usando potências:
\cos(2\theta)=\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta).

Passo 3

Expliquei acima de onde veio \cos(2\theta)=\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta). Agora vou usar a identidade pitagórica fundamental (essa você pode visualizar no círculo unitário: as coordenadas são (\cos\theta,\sin\theta) e sua distância ao centro é 1, daí \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1). Escrevo essa identidade:
\cos^{2}(\theta)+\sin^{2}(\theta)=1.
Dessa identidade isolamos \cos^{2}(\theta):
\cos^{2}(\theta)=1-\sin^{2}(\theta).

Passo 4

Substituímos \cos^{2}(\theta)=1-\sin^{2}(\theta) na expressão obtida para \cos(2\theta):
\cos(2\theta)=(1-\sin^{2}(\theta))-\sin^{2}(\theta).
Agora simplificamos o lado direito somando os termos em \sin^{2}(\theta):
\cos(2\theta)=1-2\sin^{2}(\theta).

Passo 5

Isolamos \sin^{2}(\theta) na equação \cos(2\theta)=1-2\sin^{2}(\theta). Primeiro subtraímos 1 dos dois lados:
\cos(2\theta)-1=-2\sin^{2}(\theta).
Agora dividimos ambos os lados por -2:
\sin^{2}(\theta)=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Expliquei cada passo algébrico: substituição, uso da identidade pitagórica e resolução linear para \sin^{2}(\theta).

Resposta

\sin^{2}(\theta)=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}

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