A partir da representação analítica dos vetores fornecidos, determine o módulo e a direção (orientação -\theta ) com relação ao semi-eixo positivo x
\vec{r}=(-4,00 \hat{\imath}+5,00 \hat{\jmath}) m

Passo 1

O enunciado fornece o vetor pela sua representação analítica e pede duas coisas:
  • Determinar o módulo (o comprimento) de \vec{r}.
  • Determinar a direção, mais precisamente a orientação indicada como -\theta, com relação ao semi-eixo positivo x.
Informações dadas:
  • \vec{r}=(-4{,}00\,\hat{\imath}+5{,}00\,\hat{\jmath})\\ \text{m}.
  • Logo, as componentes são x=-4{,}00 e y=5{,}00 (em metros).

Passo 2

O módulo (comprimento) de um vetor bidimensional \vec{r}=(x,y) é dado pela fórmula da distância euclidiana:
\|\vec{r}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Explicando essa fórmula de forma simples: pensa no triângulo retângulo formado pelas projeções do vetor nos eixos x e y. O módulo é a hipotenusa desse triângulo, e a soma dos quadrados dos catetos dá o quadrado da hipotenusa (Teorema de Pitágoras).
Aplicando ao nosso vetor:
\|\vec{r}\|=\sqrt{(-4{,}00)^{2}+(5{,}00)^{2}}=\sqrt{16{,}00+25{,}00}=\sqrt{41{,}00}.
Agora calculamos a raiz:
\sqrt{41{,}00}\approx6{,}4031\\ \text{m}.

Passo 3

Agora a direção. A direção de um vetor no plano pode ser descrita pelo ângulo \theta que ele forma com o semi-eixo positivo x medido no sentido anti-horário (convencionalmente). Para obter esse ângulo usamos a função arco-tangente porque a tangente do ângulo é a razão entre a componente y e a componente x:
\tan\theta=\frac{y}{x}.
No entanto há um detalhe importante: a função \arctan(y/x) devolve um ângulo principal com valor entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}, que não identifica em qual quadrante o vetor está quando x for negativo. Por isso usamos a regra prática (ou a função matemática \operatorname{atan2}(y,x)):
  • Se x>0: \theta=\arctan(y/x).
  • Se x<0 e y\ge 0: \theta=\pi+\arctan(y/x) (ou mais comumente \theta=\pi-\arctan(|y/x|)).
  • Se x<0 e y<0: \theta=-\pi+\arctan(y/x) (equivalente a \theta=-\pi+\arctan(|y/x|) com sinais ajustados).
  • Se x=0: tratar separadamente ( \theta=\tfrac{\pi}{2} se y>0, \theta=-\tfrac{\pi}{2} se y<0).
Isso garante que o ângulo \theta esteja no quadrante correto.

Passo 4

Aplicando ao nosso vetor: x=-4{,}00<0 e y=5{,}00>0. Então o vetor está no segundo quadrante. Podemos proceder calculando o ângulo de referência (o ângulo agudo formado com o eixo x em valor absoluto) e depois ajustar para o segundo quadrante.
Primeiro o ângulo de referência:
\alpha=\arctan\!\left(\frac{|y|}{|x|}\right)=\arctan\!\left(\frac{5{,}00}{4{,}00}\right)=\arctan(1{,}25).
Em radianos:
\alpha\approx0{,}89566\\ \text{rad}.
Convertendo para graus (multiplicando por 180^\circ/\pi):
\alpha\approx51{,}3402^\circ.
Como estamos no segundo quadrante, o ângulo \theta medido anti-horário a partir do semi-eixo positivo x é
\theta=\pi-\alpha\approx\pi-0{,}89566\\ \text{rad}\approx2{,}24593\\ \text{rad},
ou em graus
\theta\approx180^\circ-51{,}3402^\circ=128{,}6598^\circ.

Passo 5

O enunciado pede a orientação indicada como -\theta com relação ao semi-eixo positivo x. Ângulos são valores moduláveis por 2\pi (ou 360^\circ), então existem representações equivalentes. O ângulo \theta que encontramos ( \approx128{,}6598^\circ) tem uma representação equivalente como ângulo negativo que aponta para a mesma direção:
-\theta_{\text{equiv}}=\theta-360^\circ.
Calculando essa representação negativa:
-\theta_{\text{equiv}}=128{,}6598^\circ-360^\circ=-231{,}3402^\circ.
Em radianos:
-\theta_{\text{equiv}}=2{,}24593-\;2\pi\approx-4{,}03726\\ \text{rad}.
Observação intuitiva: o ângulo -231{,}3402^\circ é apenas a mesma direção expressa como um giro no sentido horário a partir do eixo +x (ângulo negativo), enquanto 128{,}6598^\circ é o giro no sentido anti-horário. Ambos descrevem a mesma direção do vetor.

Passo 6

Resumo numérico pronto para usar na prova:
  • Módulo: \|\vec{r}\|=\sqrt{41{,}00}\approx6{,}4031\\ \text{m}.
  • Direção: ângulo anti-horário \theta\approx128{,}6598^\circ ( \approx2{,}24593\\ \text{rad}); o equivalente com orientação negativa pedido é -\theta\approx-231{,}3402^\circ ( \approx-4{,}03726\\ \text{rad}).
Força aí — já está pronto para decorar/usar na prova; se quiser eu deixo só os valores arredondados para colar rápido no caderno.

Resposta

\|\vec{r}\|=\sqrt{41{,}00}\approx6{,}4031\\ \text{m}
-\theta\approx-231{,}3402^\circ\approx-4{,}03726\\ \text{rad}

Exercícios relacionados