A partir da representação analítica dos vetores fornecidos, determine o módulo e a direção (orientação
) com relação ao semi-eixo positivo
Passo 1
O enunciado fornece o vetor pela sua representação analítica e pede duas coisas:
- Determinar o módulo (o comprimento) de
. - Determinar a direção, mais precisamente a orientação indicada como
, com relação ao semi-eixo positivo .
Informações dadas:
-
. - Logo, as componentes são
e (em metros).
Passo 2
O módulo (comprimento) de um vetor bidimensional
é dado pela fórmula da distância euclidiana:
Explicando essa fórmula de forma simples: pensa no triângulo retângulo formado pelas projeções do vetor nos eixos
e
. O módulo é a hipotenusa desse triângulo, e a soma dos quadrados dos catetos dá o quadrado da hipotenusa (Teorema de Pitágoras).
Aplicando ao nosso vetor:
Agora calculamos a raiz:
Passo 3
Agora a direção. A direção de um vetor no plano pode ser descrita pelo ângulo
que ele forma com o semi-eixo positivo
medido no sentido anti-horário (convencionalmente). Para obter esse ângulo usamos a função arco-tangente porque a tangente do ângulo é a razão entre a componente
e a componente
:
No entanto há um detalhe importante: a função
devolve um ângulo principal com valor entre
e
, que não identifica em qual quadrante o vetor está quando
for negativo. Por isso usamos a regra prática (ou a função matemática
):
- Se
: . - Se
e : (ou mais comumente ). - Se
e : (equivalente a com sinais ajustados). - Se
: tratar separadamente ( se , se ).
Isso garante que o ângulo
esteja no quadrante correto.
Passo 4
Aplicando ao nosso vetor:
e
. Então o vetor está no segundo quadrante. Podemos proceder calculando o ângulo de referência (o ângulo agudo formado com o eixo
em valor absoluto) e depois ajustar para o segundo quadrante.
Primeiro o ângulo de referência:
Em radianos:
Convertendo para graus (multiplicando por
):
Como estamos no segundo quadrante, o ângulo
medido anti-horário a partir do semi-eixo positivo
é
ou em graus
Passo 5
O enunciado pede a orientação indicada como
com relação ao semi-eixo positivo
. Ângulos são valores moduláveis por
(ou
), então existem representações equivalentes. O ângulo
que encontramos (
) tem uma representação equivalente como ângulo negativo que aponta para a mesma direção:
Calculando essa representação negativa:
Em radianos:
Observação intuitiva: o ângulo
é apenas a mesma direção expressa como um giro no sentido horário a partir do eixo
(ângulo negativo), enquanto
é o giro no sentido anti-horário. Ambos descrevem a mesma direção do vetor.
Passo 6
Resumo numérico pronto para usar na prova:
- Módulo:
- Direção: ângulo anti-horário
( ); o equivalente com orientação negativa pedido é ( ).
Força aí — já está pronto para decorar/usar na prova; se quiser eu deixo só os valores arredondados para colar rápido no caderno.