A partir da representação analítica dos vetores fornecidos, determine o módulo e a direção (orientação -\theta ) com relação ao semi-eixo positivo x
\vec{r}=(52,0 \hat{\imath}-63,0 \hat{\jmath}) m

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar o módulo do vetor;
  • Determinar a direção (orientação -\theta) em relação ao semi-eixo positivo x.
As informações fornecidas (peguei do enunciado) são as componentes do vetor:
\vec{r} = \bigl(52,0\,\hat{\imath} - 63,0\,\hat{\jmath}\bigr)\\ \text{m}.
Portanto:
r_x = 52,0\\ \text{m},\qquad r_y = -63,0\\ \text{m}.

Passo 2

Fórmula do módulo (explicando passo a passo):
A norma (módulo) de um vetor em coordenadas cartesianas é obtida pela relação de Pitágoras aplicada às suas componentes:
\lVert \vec{r}\rVert = \sqrt{r_x^{2} + r_y^{2}}.
Aqui:
  • r_x é a componente do vetor no eixo x (medida em metros);
  • r_y é a componente do vetor no eixo y (medida em metros).

Passo 3

Cálculo do módulo passo a passo:
r_x^{2} = (52,0)^{2} = 2704, \qquad r_y^{2} = (-63,0)^{2} = 3969.
Somando:
r_x^{2}+r_y^{2} = 2704 + 3969 = 6673.
Tirando a raiz:
\lVert \vec{r}\rVert = \sqrt{6673}\approx 81,69\\ \text{m}.
Obs.: estimei a raiz extraindo que 81^{2}=6561 e 82^{2}=6724, e refinei a aproximação para duas casas decimais.

Passo 4

Definição da direção e escolha do método:
  • A direção (ângulo) em relação ao semi-eixo positivo x pode ser obtida por
\theta = \arctan\!\left(\frac{|r_y|}{r_x}\right),
onde se usa |r_y| para obter o ângulo agudo formado com o eixo x.
  • O sinal da orientação depende do quadrante: aqui r_x>0 e r_y<0, portanto o vetor está no 4.º quadrante — isto significa que a orientação é no sentido horário desde o eixo positivo x, ou seja, -\theta.

Passo 5

Cálculo do ângulo passo a passo:
Calcule a razão:
\frac{|r_y|}{r_x}=\frac{63,0}{52,0}=1,211538\ldots
Aplicando a função arco-tangente (em graus):
\theta \approx \arctan(1,211538\ldots)\approx 50,46^\circ.
Convertendo para radianos (opção útil em física e cálculo):
\theta \approx 50,46^\circ\cdot\frac{\pi}{180}\approx 0,881\\ \text{rad}.
Como explicado, a orientação do vetor é no sentido horário a partir do eixo x, então a direção pedida é
\text{orientação} = -\theta \approx -50,46^\circ \approx -0,881\\ \text{rad}.çã

Resposta

\lVert \vec{r}\rVert = 81,69\\ \text{m}
\text{orientação} = -50,46^\circ \approx -0,881\\ \text{rad}çã

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