(2,0 pontos) Determine em que altura (em metros) a pressão atmosférica se reduz a um nono da pressão ao nível do mar (H=0). Admita que a aceleração gravitacional seja \boldsymbol{g}=\mathbf{9}, \mathbf{8} \boldsymbol{m} / \mathbf{s}^{\mathbf{2}} constante ao longo de toda a altura, que a densidade do ar à superficie valha \boldsymbol{\mu}_{0}=\mathbf{1 , 2} \mathbf{~ k g} / \mathbf{m}^{3} e que a pressão ao nivel do mar valha 100000 Pa .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pedido: determinar a altura em que a pressão atmosférica se reduz a um nono da pressão ao nível do mar.
  • Informações fornecidas:
    • pressão ao nível do mar: p_0 = 100000\\ \mathrm{Pa};
    • aceleração da gravidade: g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} (constante com a altura);
    • densidade do ar na superfície: \mu_0 = 1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Objetivo numérico: achar h tal que a pressão a essa altura seja p(h)=\dfrac{p_0}{9}.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (sem começar a resolver ainda).
  • A equação que liga variação de pressão com altura é a equação hidrostática \dfrac{dp}{dz}=-\rho(z)\,g, onde:
    • p(z) é a pressão em função da altura z;
    • \rho(z) é a densidade do ar em função de z;
    • g é a aceleração da gravidade (dada).
  • Para resolver é preciso modelar \rho(z). Há duas opções comuns:
    1. Assumir densidade constante \rho(z)=\mu_0. Isso leva a uma queda linear de pressão com a altura e é o método mais simples — adequado quando nos falta informação sobre temperatura ou composição do ar.
    2. Usar a lei barométrica (modelo exponencial) que exige assumir que o ar é gás ideal e conhecer a temperatura (ou a massa molar), informação que não foi dada no enunciado.
  • Como o enunciado fornece apenas \mu_0 e não dá temperatura ou massa molar, escolho o método com densidade constante \rho=\mu_0. É o método mais simples e aplicável com os dados disponíveis. Vou explicar também, ao final, como mudaria com o modelo exponencial (para seu entendimento).

Passo 3

Escrever e integrar a equação hidrostática com densidade constante.
  • A equação hidrostática é
\frac{dp}{dz}=-\rho\,g.
  • Se assumimos \rho=\mu_0 constante, a equação torna-se
\frac{dp}{dz}=-\mu_0\,g.
  • Integramos essa equação de z=0 (nível do mar, onde p=p_0) até z=h (onde p=p(h)):
\int_{p_0}^{p(h)} dp = \int_{0}^{h} -\mu_0\,g\,dz.
  • A integral dá
p(h)-p_0 = -\mu_0\,g\,h,
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p(h)=p_0-\mu_0\,g\,h.
  • Aqui: p_0 é conhecida, \mu_0 e g são conhecidos; só falta impor p(h)=p_0/9 e resolver para h.

Passo 4

Impor a condição p(h)=\dfrac{p_0}{9} e resolver algebricamente.
  • Igualando:
p_0-\mu_0\,g\,h=\frac{p_0}{9}.
  • Isolando h:
\mu_0\,g\,h = p_0\!\left(1-\frac{1}{9}\right) = p_0\cdot\frac{8}{9}.
h = \frac{p_0\cdot\frac{8}{9}}{\mu_0\,g}.
  • Substituindo os valores numéricos ( p_0=100000\\ \mathrm{Pa}, \mu_0=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}):
h = \frac{100000 \cdot \dfrac{8}{9}}{1{,}2 \cdot 9{,}8}.
  • Calcule passo a passo:
100000\cdot\frac{8}{9}=\frac{800000}{9}\approx 88888{,}888\\ \mathrm{Pa},
1{,}2\cdot 9{,}8 = 11{,}76\\ \mathrm{kg/(m^2\\ s^2)}.
h \approx \frac{88888{,}888}{11{,}76}\\ \mathrm{m} \approx 7557{,}31\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Interpretação, verificação de unidades e comentário sobre a aproximação.
  • Verificação dimensional: h tem unidades
\frac{\text{Pa}}{(\text{kg/m}^3)\cdot(\text{m/s}^2)}=\frac{\text{N/m}^2}{(\text{kg/m}^3)\cdot(\text{m/s}^2)}=\mathrm{m},
portanto as unidades são consistentes.
  • Resultado numérico: aproximadamente h\approx 7557{,}31\\ \mathrm{m}, ou cerca de 7{,}56\\ \text{km}.
  • Comentário sobre a aproximação: como a densidade do ar diminui com a altura, o modelo mais realista (barométrico, exponencial) dá uma altura maior para que p caia a p_0/9. Assim, o valor obtido aqui é uma estimativa usando a hipótese simples \rho=\mu_0; na atmosfera real, a altura necessária seria maior (ordem de algumas dezenas de km dependendo da temperatura), porque a pressão decai aproximadamente de forma exponencial com a altura quando se modela o ar como gás ideal a temperatura aproximadamente constante.
  • Motivação prática: para esta questão, como o enunciado só fornece \mu_0 e g, o procedimento correto e direto é o que fiz acima.

Resposta

h \approx 7557{,}31\\ \mathrm{m}

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