(2,0 pontos) Determine em que altura (em metros) a pressão atmosférica se reduz a um nono da pressão ao nível do mar
. Admita que a aceleração gravitacional seja
constante ao longo de toda a altura, que a densidade do ar à superficie valha
e que a pressão ao nivel do mar valha 100000 Pa .
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pedido: determinar a altura em que a pressão atmosférica se reduz a um nono da pressão ao nível do mar.
- Informações fornecidas:
- pressão ao nível do mar:
; - aceleração da gravidade:
(constante com a altura); - densidade do ar na superfície:
.
- pressão ao nível do mar:
- Objetivo numérico: achar
tal que a pressão a essa altura seja .
Passo 2
Escolha do método e justificativa (sem começar a resolver ainda).
- A equação que liga variação de pressão com altura é a equação hidrostática
, onde: -
é a pressão em função da altura ; -
é a densidade do ar em função de ; -
é a aceleração da gravidade (dada).
-
- Para resolver é preciso modelar
. Há duas opções comuns: - Assumir densidade constante
. Isso leva a uma queda linear de pressão com a altura e é o método mais simples — adequado quando nos falta informação sobre temperatura ou composição do ar. - Usar a lei barométrica (modelo exponencial) que exige assumir que o ar é gás ideal e conhecer a temperatura (ou a massa molar), informação que não foi dada no enunciado.
- Assumir densidade constante
- Como o enunciado fornece apenas
e não dá temperatura ou massa molar, escolho o método com densidade constante . É o método mais simples e aplicável com os dados disponíveis. Vou explicar também, ao final, como mudaria com o modelo exponencial (para seu entendimento).
Passo 3
Escrever e integrar a equação hidrostática com densidade constante.
- A equação hidrostática é
- Se assumimos
constante, a equação torna-se
- Integramos essa equação de
(nível do mar, onde ) até (onde ):
- A integral dá
logo
- Aqui:
é conhecida, e são conhecidos; só falta impor e resolver para .
Passo 4
Impor a condição
e resolver algebricamente.
- Igualando:
- Isolando
:
- Substituindo os valores numéricos (
, , ):
- Calcule passo a passo:
Passo 5
Interpretação, verificação de unidades e comentário sobre a aproximação.
- Verificação dimensional:
tem unidades
portanto as unidades são consistentes.
- Resultado numérico: aproximadamente
, ou cerca de . - Comentário sobre a aproximação: como a densidade do ar diminui com a altura, o modelo mais realista (barométrico, exponencial) dá uma altura maior para que
caia a . Assim, o valor obtido aqui é uma estimativa usando a hipótese simples ; na atmosfera real, a altura necessária seria maior (ordem de algumas dezenas de km dependendo da temperatura), porque a pressão decai aproximadamente de forma exponencial com a altura quando se modela o ar como gás ideal a temperatura aproximadamente constante. - Motivação prática: para esta questão, como o enunciado só fornece
e , o procedimento correto e direto é o que fiz acima.