A partir do sistema de equações diferenciais em
e
, obtenha uma equação diferencial de ordem superior apenas em
(não tente resolvê-la!):
2)
2)
Passo 1
O enunciado dá o sistema de duas equações diferenciais em
A pergunta é: transformar esse sistema num único ODE que envolva somente (y_{I I}] (sem resolver o ODE).]
Passo 2
A partir da segunda equação temos uma expressão direta para
. Vou isolar
:
Aqui usei apenas álgebra (somar
dos dois lados). Isso significa que a segunda derivada de
é exatamente a primeira derivada de
.
Passo 3
Agora substituo essa expressão de
na primeira equação para eliminar
do sistema. A primeira equação é
Substituindo
obtemos
Agora resolvo essa igualdade para
:
Isso dá a primeira derivada de
em função de derivadas de
.
Passo 4
Para eliminar completamente
preciso relacionar também
(que já sabemos) com derivadas de
obtidas a partir da expressão de
. Uma maneira sistemática é derivar a segunda equação uma vez para obter
em termos de
. Diferenciando
em relação a
dá
Aqui usei a regra básica: derivada de
é
e derivada de
é
.
Passo 5
Agora derivo a expressão obtida no Passo 3, que dá
em termos de
. Diferenciando
obtemos (derivando termo a termo)
Expliquei: derivada de
é
e derivada de
é
.
Passo 6
No Passo 2 já tínhamos outra expressão para
, a saber
. Igualando essa expressão com a obtida no Passo 5 temos
Agora reescrevo tudo em um lado para obter a equação diferencial somente em
:
Essa é a ODE de ordem superior em
que procurávamos. Em forma de operador diferencial, se
denota derivação em relação à variável independente, a equação é
ou fatorando