A partir do sistema de equações diferenciais em y_{I} e y_{I I}, obtenha uma equação diferencial de ordem superior apenas em y_{I I} (não tente resolvê-la!):
2) \left\{\begin{array}{l}y_{I}^{\prime \prime}+y_{I}^{\prime}+y_{I I}^{\prime \prime}=0 \\\ y_{I}^{\prime \prime}-y_{I I}^{\prime}=0\end{array}\right\} y_{\pi}\left(D^{5}+D^{3}+D^{2}\right)=0

Passo 1

O enunciado dá o sistema de duas equações diferenciais em y_{I}\) e \(y_{I I}\) e pede para eliminar \(y_{I}\), obtendo uma única equação diferencial de ordem superior apenas em \(y_{I I}\). As informações fornecidas são: \[\begin{cases} y_{I}^{\prime\prime}+y_{I}^{\prime}+y_{I I}^{\prime\prime}=0,\\[4pt] y_{I}^{\prime\prime}-y_{I I}^{\prime}=0. \end{cases}
A pergunta é: transformar esse sistema num único ODE que envolva somente (y_{I I}] (sem resolver o ODE).]

Passo 2

A partir da segunda equação temos uma expressão direta para y_{I}^{\prime\prime}. Vou isolar y_{I}^{\prime\prime}:
y_{I}^{\prime\prime}-y_{I I}^{\prime}=0 \quad\Longrightarrow\quad y_{I}^{\prime\prime}=y_{I I}^{\prime}.
Aqui usei apenas álgebra (somar y_{I I}^{\prime} dos dois lados). Isso significa que a segunda derivada de y_{I} é exatamente a primeira derivada de y_{I I}.

Passo 3

Agora substituo essa expressão de y_{I}^{\prime\prime} na primeira equação para eliminar y_{I}^{\prime\prime} do sistema. A primeira equação é
y_{I}^{\prime\prime}+y_{I}^{\prime}+y_{I I}^{\prime\prime}=0.
Substituindo y_{I}^{\prime\prime}=y_{I I}^{\prime} obtemos
y_{I I}^{\prime}+y_{I}^{\prime}+y_{I I}^{\prime\prime}=0.
Agora resolvo essa igualdade para y_{I}^{\prime}:
y_{I}^{\prime} = -\,y_{I I}^{\prime} - y_{I I}^{\prime\prime}.
Isso dá a primeira derivada de y_{I} em função de derivadas de y_{I I}.

Passo 4

Para eliminar completamente y_{I} preciso relacionar também y_{I}^{\prime\prime} (que já sabemos) com derivadas de y_{I I} obtidas a partir da expressão de y_{I}^{\prime}. Uma maneira sistemática é derivar a segunda equação uma vez para obter y_{I}^{\prime\prime\prime} em termos de y_{I I}^{\prime\prime}. Diferenciando
y_{I}^{\prime\prime}=y_{I I}^{\prime}
em relação a x
y_{I}^{\prime\prime\prime}=y_{I I}^{\prime\prime}.
Aqui usei a regra básica: derivada de y_{I}^{\prime\prime} é y_{I}^{\prime\prime\prime} e derivada de y_{I I}^{\prime} é y_{I I}^{\prime\prime}.

Passo 5

Agora derivo a expressão obtida no Passo 3, que dá y_{I}^{\prime} em termos de y_{I I}. Diferenciando
y_{I}^{\prime} = -\,y_{I I}^{\prime} - y_{I I}^{\prime\prime}
obtemos (derivando termo a termo)
y_{I}^{\prime\prime} = -\,y_{I I}^{\prime\prime} - y_{I I}^{\prime\prime\prime}.
Expliquei: derivada de -y_{I I}^{\prime} é -y_{I I}^{\prime\prime} e derivada de -y_{I I}^{\prime\prime} é -y_{I I}^{\prime\prime\prime}.

Passo 6

No Passo 2 já tínhamos outra expressão para y_{I}^{\prime\prime}, a saber y_{I}^{\prime\prime}=y_{I I}^{\prime}. Igualando essa expressão com a obtida no Passo 5 temos
y_{I I}^{\prime} = -\,y_{I I}^{\prime\prime} - y_{I I}^{\prime\prime\prime}.
Agora reescrevo tudo em um lado para obter a equação diferencial somente em y_{I I}:
y_{I I}^{\prime\prime\prime} + y_{I I}^{\prime\prime} + y_{I I}^{\prime} = 0.
Essa é a ODE de ordem superior em y_{I I} que procurávamos. Em forma de operador diferencial, se D denota derivação em relação à variável independente, a equação é
\bigl(D^{3}+D^{2}+D\bigr)y_{I I}=0,
ou fatorando
D\bigl(D^{2}+D+1\bigr)y_{I I}=0.

Resposta

y_{I I}^{\prime\prime\prime}+y_{I I}^{\prime\prime}+y_{I I}^{\prime}=0

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