A partir do sistema de equações diferenciais em
e
, obtenha uma equação diferencial de ordem superior apenas em
(não tente resolvê-la!):
-
Passo 1
O enunciado dá um sistema de duas equações diferenciais envolvendo as funções
Informações relevantes que temos:
- As incógnitas são as funções .
- Queremos eliminar
e suas derivadas para ficar com uma equação apenas em . - Está implícito que todas as derivadas necessárias existem e são contínuas (podemos diferenciar as equações).]
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): para eliminar
é útil obter uma expressão que contenha
(outra derivada de
) em termos de
e suas derivadas, e substituir essa expressão numa equação que contenha
. Observação técnica sobre derivadas: se
aparece numa equação, então ao derivarmos essa equação obtemos
(pois a derivada de
é
). Assim, vamos derivar a segunda equação para obter
explícito.
Derivando a segunda equação em relação à variável independente (ex.:
) temos: a derivada de
é
, a de
é
e a de
é
. Logo, derivando obtemos
Passo 3
Agora isolamos
a partir da primeira equação. A primeira equação é
Isolando
obtemos
Isto é apenas álgebra: movemos os termos de
para o outro lado.
Passo 4
Substituímos a expressão de
obtida no Passo 3 na equação derivada do Passo 2. A equação do Passo 2 é
substituindo
obtemos
Passo 5
Agora agrupamos os termos que envolvem
e suas derivadas para escrever a equação final. Reescrevendo a expressão do Passo 4:
Esta é uma equação diferencial ordinária de ordem quatro envolvendo apenas
. Podemos notar que ela pode ser escrita de forma compacta com o operador derivada
como
, mas a forma expandida acima já é a resposta pedida.