A partir do sistema de equações diferenciais em y_{I} e y_{I I}, obtenha uma equação diferencial de ordem superior apenas em y_{I I} (não tente resolvê-la!):
  1. \left\{\begin{array}{l}y_{I}^{\prime \prime \prime}+y_{I I}^{\prime}+y_{I I}=0 \\\ y_{I}^{\prime \prime}+y_{I I}^{\prime \prime \prime}+y_{I I}^{\prime}=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de duas equações diferenciais envolvendo as funções \,y_{I}(x)\,\) e \(\,y_{I I}(x)\,\) e pede: obter uma única equação diferencial de ordem superior que envolva apenas \(\,y_{I I}\,\) (não resolver). As equações fornecidas são: \[\begin{cases} y_{I}^{\prime \prime \prime}+y_{I I}^{\prime}+y_{I I}=0\\[6pt] y_{I}^{\prime \prime}+y_{I I}^{\prime \prime \prime}+y_{I I}^{\prime}=0 \end{cases}
Informações relevantes que temos:
  • As incógnitas são as funções \,y_{I}(x)\,\] e \(\,y_{I I}(x)\,.
  • Queremos eliminar \,y_{I}\, e suas derivadas para ficar com uma equação apenas em \,y_{I I}\,.
  • Está implícito que todas as derivadas necessárias existem e são contínuas (podemos diferenciar as equações).]

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): para eliminar \,y_{I}\, é útil obter uma expressão que contenha \,y_{I}^{\prime \prime \prime}\, (outra derivada de \,y_{I}\,) em termos de \,y_{I I}\, e suas derivadas, e substituir essa expressão numa equação que contenha \,y_{I}^{\prime \prime \prime}. Observação técnica sobre derivadas: se \,y_{I}^{\prime \prime}\, aparece numa equação, então ao derivarmos essa equação obtemos \,y_{I}^{\prime \prime \prime}\, (pois a derivada de \,y_{I}^{\prime \prime}\, é \,y_{I}^{\prime \prime \prime}\,). Assim, vamos derivar a segunda equação para obter \,y_{I}^{\prime \prime \prime}\, explícito.
Derivando a segunda equação em relação à variável independente (ex.: x) temos: a derivada de \,y_{I}^{\prime \prime}\, é \,y_{I}^{\prime \prime \prime}\,, a de \,y_{I I}^{\prime \prime \prime}\, é \,y_{I I}^{\prime \prime \prime \prime}\, e a de \,y_{I I}^{\prime}\, é \,y_{I I}^{\prime \prime}. Logo, derivando obtemos
y_{I}^{\prime \prime \prime}+y_{I I}^{\prime \prime \prime \prime}+y_{I I}^{\prime \prime}=0.

Passo 3

Agora isolamos \,y_{I}^{\prime \prime \prime}\, a partir da primeira equação. A primeira equação é
y_{I}^{\prime \prime \prime}+y_{I I}^{\prime}+y_{I I}=0.
Isolando \,y_{I}^{\prime \prime \prime}\, obtemos
y_{I}^{\prime \prime \prime} = -\,y_{I I}^{\prime} - y_{I I}.
Isto é apenas álgebra: movemos os termos de \,y_{I I}\, para o outro lado.

Passo 4

Substituímos a expressão de \,y_{I}^{\prime \prime \prime}\, obtida no Passo 3 na equação derivada do Passo 2. A equação do Passo 2 é
y_{I}^{\prime \prime \prime}+y_{I I}^{\prime \prime \prime \prime}+y_{I I}^{\prime \prime}=0,
substituindo \,y_{I}^{\prime \prime \prime} = -y_{I I}^{\prime}-y_{I I}\, obtemos
\big(-y_{I I}^{\prime}-y_{I I}\big) + y_{I I}^{\prime \prime \prime \prime} + y_{I I}^{\prime \prime} = 0.

Passo 5

Agora agrupamos os termos que envolvem \,y_{I I}\, e suas derivadas para escrever a equação final. Reescrevendo a expressão do Passo 4:
y_{I I}^{\prime \prime \prime \prime} + y_{I I}^{\prime \prime} - y_{I I}^{\prime} - y_{I I} = 0.
Esta é uma equação diferencial ordinária de ordem quatro envolvendo apenas \,y_{I I}\,. Podemos notar que ela pode ser escrita de forma compacta com o operador derivada \,D=\frac{d}{dx}\, como (D^{4}+D^{2}-D-1)y_{I I}=0, mas a forma expandida acima já é a resposta pedida.

Resposta

y_{I I}^{\prime \prime \prime \prime}+y_{I I}^{\prime \prime}-y_{I I}^{\prime}-y_{I I}=0

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