1. Todas as soluções de y^{\prime \prime \prime}+4 y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede: "Todas as soluções de y^{\prime\prime\prime}+4y^{\prime\prime}+5y^{\prime}+2y=0".\n
Informações dadas e importantes: \n
  • Trata-se de uma equação diferencial linear homogênea de ordem 3 com coeficientes constantes. \n
  • A equação é
y^{\prime\prime\prime}+4y^{\prime\prime}+5y^{\prime}+2y=0.
  • Queremos a solução geral (todas as soluções), ou seja, a combinação linear das soluções fundamentais.

Passo 2

Ideia inicial (explicação didática do método que vamos usar): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma boa aposta é tentar uma solução da forma y=e^{rx}, porque derivar e^{rx} só multiplica por r e isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r. Vou mostrar passo a passo essa substituição.

Passo 3

Substituindo y=e^{rx} e suas derivadas na equação, temos:
y=e^{rx},\quad y' = r e^{rx},\quad y''=r^2 e^{rx},\quad y'''=r^3 e^{rx}.
Colocando na equação:
r^3 e^{rx} + 4 r^2 e^{rx} + 5 r e^{rx} + 2 e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e ficamos com a equação característica (polinomial):
r^3 + 4 r^2 + 5 r + 2 = 0.

Passo 4

Agora precisamos resolver o polinômio
r^3 + 4 r^2 + 5 r + 2 = 0.
Testamos raízes racionais simples (divisores de 2): \pm1,\pm2. Testando r=-1:
(-1)^3 + 4(-1)^2 + 5(-1) + 2 = -1 + 4 -5 + 2 = 0.
Logo r=-1 é uma raiz. Isso significa que o polinômio é divisível por (r+1). Fazendo a divisão (ou usando divisão sintética) obtemos o quociente quadrático:
r^3 + 4 r^2 + 5 r + 2 = (r+1)(r^2+3r+2).
Verificação do fator quadrático: r^2+3r+2 fatora como
r^2+3r+2=(r+1)(r+2).
Portanto o polinômio completo fatoriza como
r^3 + 4 r^2 + 5 r + 2 = (r+1)(r+1)(r+2) = (r+1)^2 (r+2).

Passo 5

As raízes encontradas são r=-1 com multiplicidade 2 e r=-2 com multiplicidade 1. Agora a regra para construir a solução geral: se r_0 é raiz simples, a solução associada é e^{r_0 x}; se r_0 tem multiplicidade m, as m soluções independentes associadas são
e^{r_0 x},\quad x e^{r_0 x},\quad x^2 e^{r_0 x},\\ \ldots,\\ x^{m-1} e^{r_0 x}.
Aqui, para r=-1 (multiplicidade 2) obtemos as soluções e^{-x} e x e^{-x}. Para r=-2 (multiplicidade 1) obtemos e^{-2x}.

Passo 6

Concluímos que um conjunto fundamental de soluções é
e^{-x},\quad x e^{-x},\quad e^{-2x}.
Assim a solução geral (combinação linear das soluções fundamentais com constantes arbitrárias) é
y(x)=C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} + C_3 e^{-2x},
onde C_1, C_2, C_3 são constantes reais arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}x e^{-x}+C_{3}e^{-2x}

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