- Todas as soluções de
Passo 1
O enunciado pede: "Todas as soluções de
".\n
Informações dadas e importantes: \n
Informações dadas e importantes: \n
- Trata-se de uma equação diferencial linear homogênea de ordem
com coeficientes constantes. \n - A equação é
- Queremos a solução geral (todas as soluções), ou seja, a combinação linear das soluções fundamentais.
Passo 2
Ideia inicial (explicação didática do método que vamos usar): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma boa aposta é tentar uma solução da forma
, porque derivar
só multiplica por
e isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
. Vou mostrar passo a passo essa substituição.
Passo 3
Substituindo
e suas derivadas na equação, temos:
Colocando na equação:
Como
para todo
, podemos dividir por
e ficamos com a equação característica (polinomial):
Passo 4
Agora precisamos resolver o polinômio
Testamos raízes racionais simples (divisores de
):
. Testando
:
Logo
é uma raiz. Isso significa que o polinômio é divisível por
. Fazendo a divisão (ou usando divisão sintética) obtemos o quociente quadrático:
Verificação do fator quadrático:
fatora como
Portanto o polinômio completo fatoriza como
Passo 5
As raízes encontradas são
com multiplicidade
e
com multiplicidade
. Agora a regra para construir a solução geral: se
é raiz simples, a solução associada é
; se
tem multiplicidade
, as
soluções independentes associadas são
Aqui, para
(multiplicidade
) obtemos as soluções
e
. Para
(multiplicidade
) obtemos
.
Passo 6
Concluímos que um conjunto fundamental de soluções é
Assim a solução geral (combinação linear das soluções fundamentais com constantes arbitrárias) é
onde
são constantes reais arbitrárias.