Encontre a transformada de Fourier para cada um dos sinais abaixo utilizando a tabela de transformadas de sinais básicos e propriedades.
f(t)=\operatorname{sen}(2 \pi t)[u(t)-u(t-1)]

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de
f(t)=\sin(2\pi t)\bigl[u(t)-u(t-1)\bigr],
onde u(t) é a função degrau. O conteúdo é transformada de Fourier de produto de sinal senoidal e janela retangular. Vamos usar a definição
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt,
além da representação de \sin por exponenciais e da integral de exponencial sobre um intervalo finito.

Passo 2

Como \bigl[u(t)-u(t-1)\bigr] vale 1 só para t\in[0,1), temos
F(\omega)=\int_{0}^{1}\sin(2\pi t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Em seguida usamos
\sin(2\pi t)=\frac{e^{i2\pi t}-e^{-i2\pi t}}{2i}
para escrever a integral como diferença de duas integrais de exponenciais.

Passo 3

Substituindo,
F(\omega) =\frac{1}{2i}\int_{0}^{1}\bigl(e^{i2\pi t}-e^{-i2\pi t}\bigr)\,e^{-i\omega t}\,dt =\frac{1}{2i}\Bigl[I_1 - I_2\Bigr],
onde
I_1=\int_{0}^{1}e^{-i(\omega-2\pi)t}\,dt, \quad I_2=\int_{0}^{1}e^{-i(\omega+2\pi)t}\,dt.

Passo 4

Cada integral tem a forma
\int_{0}^{1}e^{-i a t}\,dt =\frac{1-e^{-i a}}{i\,a}.
Logo,
I_1=\frac{1-e^{-i(\omega-2\pi)}}{i(\omega-2\pi)}, \quad I_2=\frac{1-e^{-i(\omega+2\pi)}}{i(\omega+2\pi)}.
Substituindo em F(\omega):
F(\omega) =\frac{1}{2i}\Biggl[ \frac{1-e^{-i(\omega-2\pi)}}{i(\omega-2\pi)} -\frac{1-e^{-i(\omega+2\pi)}}{i(\omega+2\pi)} \Biggr].

Passo 5

Como \tfrac{1}{2i}\cdot\tfrac{1}{i}=-\tfrac12, obtemos
F(\omega) =-\frac12\Biggl[ \frac{1-e^{-i(\omega-2\pi)}}{\omega-2\pi} -\frac{1-e^{-i(\omega+2\pi)}}{\omega+2\pi} \Biggr]
ou, reescrevendo os sinais,
F(\omega) =\frac12\Biggl[ \frac{1-e^{-i(\omega+2\pi)}}{\omega+2\pi} -\frac{1-e^{-i(\omega-2\pi)}}{\omega-2\pi} \Biggr].

Resposta

\boxed{ F(\omega) =\frac12\Biggl[ \frac{1-e^{-i(\omega+2\pi)}}{\omega+2\pi} -\frac{1-e^{-i(\omega-2\pi)}}{\omega-2\pi} \Biggr] }.

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