A partir do vetor gradiente, forneça quais são os valores das inclinações (derivadas direcionais) máxima e mínima do ponto na função.
, no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para achar as inclinações máxima e mínima (ou seja, as derivadas direcionais extremas) de uma função de duas variáveis dada pelo gradiente. A função é
e o ponto é
. Vamos precisar: 1) calcular o vetor gradiente
, 2) avaliá-lo em
, e 3) usar que a inclinação máxima é o comprimento de
e a mínima é o seu negativo.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
.
A derivada parcial em é
A derivada parcial em
pois aplicamos produto e a cadeia em
.
A derivada parcial em é
A derivada parcial em
Passo 3
Avaliar
em
. Primeiro note que
, então
.
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Passo 4
A inclinação máxima num ponto é o comprimento de
, isto é
E a inclinação mínima é o negativo desse valor:
Resposta
A inclinação máxima é
e a mínima é
.