A partir do vetor gradiente, forneça quais são os valores das inclinações (derivadas direcionais) máxima e mínima do ponto na função.
g(x, y)=(x+3) e^x y, no ponto (1,-1).

Passo 1

O enunciado pede para achar as inclinações máxima e mínima (ou seja, as derivadas direcionais extremas) de uma função de duas variáveis dada pelo gradiente. A função é
g(x,y) = (x+3)e^xy
e o ponto é (1,-1). Vamos precisar: 1) calcular o vetor gradiente nabla g(x,y), 2) avaliá-lo em (1,-1), e 3) usar que a inclinação máxima é o comprimento de nabla g e a mínima é o seu negativo.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de g.
A derivada parcial em x é
partial gpartial x = partialpartial xl((x+3)e^xyr) = e^xy + (x+3),y,e^xy,
pois aplicamos produto e a cadeia em e^xy.
A derivada parcial em y é
partial gpartial y = partialpartial yl((x+3)e^xyr) = (x+3),x,e^xy

Passo 3

Avaliar nabla g em (1,-1). Primeiro note que xy = 1cdot(-1) = -1, então e^xy=e^-1.
partial gpartial x(1,-1) = e^-1 + (1+3)(-1)e^-1 = e^-1 -4e^-1 = -3e^-1,
partial gpartial y(1,-1) = (1+3)cdot1cdot e^-1 = 4e^-1
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nabla g(1,-1)=l(-3e^-1,,4e^-1r)

Passo 4

A inclinação máxima num ponto é o comprimento de nabla g, isto é
|nabla g(1,-1)| = raizl(-3e^-1r)^2 + l(4e^-1r)^2 = e^-1raiz9+16 = 5e^-1
E a inclinação mínima é o negativo desse valor:
-5e^-1

Resposta

A inclinação máxima é 5e^-1 e a mínima é -5e^-1.

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