As pás do rotor de uma bomba axial são projetadas com um ângulo de entrada de 30^{\circ} e um fator de escorregamento \Phi=0,5 para a seção média do rotor, que gira a 450 rpm . O diâmetro externo da pá é Dext =600 \mathrm{~mm} e o interno Dint =300 \mathrm{~mm}. O fluido é água com p=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Sabe-se que a lei de torção para uma rede de perfil situada na ponta da pá é igual a 0,71 \mathrm{~ms}^{2} / \mathrm{s}.
a) Determine a vazão de operação dessa bomba (15 pts)
b) Calcule o ângulo de escoamento na saída da seção média, (15 pts).
c) Calcule a carga entregue ao fluido, se o rendimento hidráulico é 87 \%, ( 15 pts ).

Passo 1

Resumindo: é uma bomba axial com ângulo de entrada das pás \beta_1=30^\circ, fator de escorregamento \Phi=0,5, giro N=450\text{ rpm}, diâmetros interno e externo D_{\rm int}=300\text{ mm}, D_{\rm ext}=600\text{ mm}, água \rho=1000\text{ kg/m}^3, e lei de torção (twist) dada por um coeficiente k=0,71. Vamos precisar de:
  1. Converter tudo em SI e calcular raios, velocidade angular \Omega, velocidade periférica média u_m.
  2. Determinar a velocidade axial C_a a partir de \beta_1.
  3. Calcular a vazão Q.
  4. Usar a lei de torção para obter C_{u2,\rm théor}=\Omega\,k\,(R_{\rm ext}-R_{\rm mid})é e então C_{u2}=\Phi\,C_{u2,\rm théor}é.
  5. A partir de C_a, u_m e C_{u2}, achar \beta_2.
  6. Aplicar a equação de Euler H_{\rm Euler}=u_m\,C_{u2}/g e depois a eficiência hidráulica para achar a carga entregue.

Passo 2

Calcular quantidades básicas:
\Omega = \frac{450}{60}\,2\pi = 47{,}12\;\mathrm{rad/s},\quad R_{\rm int}=\frac{0,300}{2}=0,150\;\mathrm m,\quad R_{\rm ext}=\frac{0,600}{2}=0,300\;\mathrm m,
R_{\rm mid}=\frac{R_{\rm int}+R_{\rm ext}}{2}=0,225\;\mathrm m,\quad u_m = \Omega\,R_{\rm mid} = 47{,}12\cdot0{,}225 = 10{,}60\;\mathrm{m/s}.
Área do escoamento axial (seção anular):
A = \pi\bigl(R_{\rm ext}^2 - R_{\rm int}^2\bigr) = \pi\bigl(0{,}300^2 - 0{,}150^2\bigr) = 0{,}2121\;\mathrm{m^2}.

Passo 3

Velocidade axial C_a no meio da pá, usando \beta_1=30^\circ e C_{u1}=0:
\tan\beta_1 = \frac{C_a}{u_m}\quad\Longrightarrow\quad C_a = u_m\,\tan30^\circ = 10{,}60\cdot0{,}5774 = 6{,}12\;\mathrm{m/s}.

Passo 4

Vazão volumétrica
Q = A\,C_a = 0{,}2121\;\mathrm{m^2}\times6{,}12\;\mathrm{m/s} = 1{,}30\;\mathrm{m^3/s}.

Passo 5

Lei de torção: a variação de ângulo ao longo do raio gera um giro do fluido. Adotamos
C_{u2,\rm théor}(r_{\rm mid}) = \Omega\,k\,(R_{\rm ext}-R_{\rm mid}) = 47{,}12\cdot0{,}71\cdot(0{,}300-0{,}225) = 2{,}51\;\mathrm{m/s}.é
Com o fator de escorregamento \Phi=0,5,
C_{u2} = \Phi\,C_{u2,\rm théor} = 0{,}5\cdot2{,}51 = 1{,}25\;\mathrm{m/s}.é

Passo 6

Ângulo de escoamento na saída, \beta_2, pela relação do triângulo de velocidades relativo ao rotor:
\tan\beta_2 = \frac{C_a}{\,u_m - C_{u2}\,} \quad\Longrightarrow\quad \beta_2 = \arctan\!\Bigl(\frac{6{,}12}{10{,}60 - 1{,}25}\Bigr) = \arctan(0{,}6547) = 33{,}2^\circ.

Passo 7

Carga de Euler (ideal)
H_{\rm Euler} = \frac{u_m\,C_{u2}}{g} = \frac{10{,}60\cdot1{,}25}{9{,}81} = 1{,}35\;\mathrm{m}.
Considerando rendimento hidráulico \eta_h=0,87, a carga útil ao fluido é
H_{\rm útil} = \eta_h\,H_{\rm Euler} = 0{,}87\cdot1{,}35 = 1{,}18\;\mathrm{m}.ú

Resposta

a) Q = 1{,}30\;\mathrm{m^3/s}.
b) \beta_2 = 33{,}2^\circ.
c) Carga útil H = 1{,}18\;\mathrm{m}.

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