5.30 (Sissom) - A extremidade de uma barra de aço inoxidável, cilíndrica e muito comprida, está ligada a uma parede aquecida, e sua superfície está em contato com um fluido frio.
se o diâmetro da barra for duplicado, determine quantas vezes a taxa de remoção de calor aumentará em relação ao diâmetro original.

Passo 1

O enunciado descreve uma barra cilíndrica muito comprida (um “fin” cilíndrico) cuja base (extremidade) está a T_b (temperatura do muro) e cuja lateral troca calor por convecção com um fluido a T_\infty. Como o comprimento é grande, podemos usar a aproximação de aleta infinita, cujo objetivo é achar a taxa de calor removida por convecção na lateral.

Passo 2

Para uma aleta infinita, a taxa de calor removida é dada por
q_\infty \;=\;\sqrt{h\,P\,k\,A_c}\;\bigl(T_b - T_\infty\bigr),
onde
h é o coeficiente de convecção na superfície lateral,
P é o perímetro da seção transversal da aleta,
A_c é a área da seção transversal,
k é a condutividade térmica do material.

Passo 3

No caso de barra cilíndrica de diâmetro D:
P = \pi D, \qquad A_c = \frac{\pi D^2}{4}.
Logo,
h\,P\,k\,A_c = h\,k\,\pi D \,\frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi^2}{4}\,h\,k\,D^3.
Substituindo em q_\infty:
q_\infty = \bigl(T_b - T_\infty\bigr) \sqrt{\frac{\pi^2}{4}\,h\,k\,D^3} = \bigl(T_b - T_\infty\bigr)\,\frac{\pi}{2}\sqrt{h\,k}\;D^{3/2}.
Isso mostra que q_\infty\propto D^{3/2}.

Passo 4

Se duplicarmos o diâmetro D\to2D, a razão entre as novas e antigas taxas é
\frac{q_\infty(2D)}{q_\infty(D)} =\frac{(2D)^{3/2}}{D^{3/2}} =2^{3/2} =2\sqrt2\approx2{,}83.

Resposta

A taxa de remoção de calor aumentará em um fator
2^{3/2}\approx2{,}83.

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