1. As pás de um ventilador completam 1200 voltas por minuto. Considere a ponta de uma pá, que está em uma raio de 0,15 \mathrm{~m}. (a) Que distância a ponta da pá percorre em uma volta? Quais são os módulos (b) da velocidade e (c) da aceleração da ponta? (d) Qual o período do movimento?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades listadas:
  • Informação: as pás do ventilador completam \,1200 voltas por minuto.
  • Informação: a ponta da pá está a uma distância (raio) de \,0,15\\ \mathrm{m} do eixo.
  • Perguntas:
    (a) Que distância a ponta da pá percorre em uma volta?
    (b) Qual o módulo da velocidade linear da ponta?
    (c) Qual o módulo da aceleração da ponta?
    (d) Qual o período do movimento?

Passo 2

Entender e usar a fórmula do comprimento de uma volta (circunferência).
A distância percorrida em uma volta é o comprimento da circunferência de raio \,r, dado por
\ell = 2\pi r,
onde \ell é a distância por volta e r é o raio (distância da ponta ao eixo). Aqui \,r=0,15\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular a distância por volta numericamente substituindo r:
\ell = 2\pi(0,15)=0,30\pi\\ \mathrm{m}.
Fazendo a aproximação numérica \pi\approx3,14159265,
\ell \approx 0,30\cdot3,14159265 \approx 0,94248\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Passar de \,voltas por minuto para grandezas úteis para velocidade/ aceleração.
Primeiro converter \,1200 voltas por minuto para voltas por segundo (frequência f):
f=\frac{1200\\ \text{rev}}{1\\ \text{min}}\cdot\frac{1\\ \text{min}}{60\\ \text{s}}=\frac{1200}{60}\\ \text{rev/s}=20\\ \text{Hz}.
Ou seja, a pá completa \,20 voltas por segundo.
Também convém obter a velocidade angular \omega em rad/s. A relação entre \omega e f é
\omega = 2\pi f,
pois cada volta corresponde a 2\pi radianos. Logo
\omega = 2\pi\cdot20 = 40\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Aproximação numérica:
\omega \approx 40\cdot3,14159265 \approx 125,664\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Calcular a velocidade linear (módulo) da ponta.
A relação entre velocidade linear v, velocidade angular \omega e raio r é
v=\omega r,
onde v é o módulo da velocidade tangencial da partícula na borda. Substituindo \omega=40\pi e r=0,15:
v = (40\pi)(0,15) = 6\pi\\ \mathrm{m/s}.
Aproximação numérica:
v \approx 6\cdot3,14159265 \approx 18,8496\\ \mathrm{m/s}\\ (\text{aproximadamente }18,85\\ \mathrm{m/s}).

Passo 6

Explicar e calcular a aceleração (módulo).
Em movimento circular uniforme a aceleração é centrípeta (voltada ao centro) e seu módulo é dado por duas formas equivalentes:
a=\frac{v^{2}}{r}\qquad\text{ou}\qquad a=\omega^{2}r,
onde a é o módulo da aceleração centrípeta. Usando v=6\pi e r=0,15:
a=\frac{(6\pi)^{2}}{0,15}=\frac{36\pi^{2}}{0,15}=240\pi^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Aproximação numérica ( \pi^{2}\approx9,8696):
a \approx 240\cdot9,8696 \approx 2368,7\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 7

Calcular o período do movimento.
O período T é o tempo para uma volta, ou seja, o inverso da frequência:
T=\frac{1}{f}.
Como f=20\\ \text{Hz},
T=\frac{1}{20}=0,05\\ \mathrm{s}.
Também pode-se obter diretamente de \,1200 rpm: \,T=\dfrac{60\\ \mathrm{s}}{1200\\ \text{rev}}=0,05\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) \ell=2\pi r=0,30\pi\\ \mathrm{m}\approx0,94248\\ \mathrm{m}
(b) v=\omega r=6\pi\\ \mathrm{m/s}\approx18,85\\ \mathrm{m/s}
(c) a=\omega^{2}r=240\pi^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx2368,7\\ \mathrm{m/s^{2}}
(d) T=\dfrac{1}{f}=0,05\\ \mathrm{s}

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