- As pás de um ventilador completam 1200 voltas por minuto. Considere a ponta de uma pá, que está em uma raio de
. (a) Que distância a ponta da pá percorre em uma volta? Quais são os módulos (b) da velocidade e (c) da aceleração da ponta? (d) Qual o período do movimento?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades listadas:
- Informação: as pás do ventilador completam
voltas por minuto. - Informação: a ponta da pá está a uma distância (raio) de
do eixo. - Perguntas:
(a) Que distância a ponta da pá percorre em uma volta?
(b) Qual o módulo da velocidade linear da ponta?
(c) Qual o módulo da aceleração da ponta?
(d) Qual o período do movimento?
Passo 2
Entender e usar a fórmula do comprimento de uma volta (circunferência).
A distância percorrida em uma volta é o comprimento da circunferência de raio , dado por
A distância percorrida em uma volta é o comprimento da circunferência de raio
onde
é a distância por volta e
é o raio (distância da ponta ao eixo). Aqui
.
Passo 3
Calcular a distância por volta numericamente substituindo
:
Fazendo a aproximação numérica
,
Passo 4
Passar de
voltas por minuto para grandezas úteis para velocidade/ aceleração.
Primeiro converter voltas por minuto para voltas por segundo (frequência
):
Primeiro converter
Ou seja, a pá completa
voltas por segundo.
Também convém obter a velocidade angular
em rad/s. A relação entre
e
é
pois cada volta corresponde a
radianos. Logo
Aproximação numérica:
Passo 5
Calcular a velocidade linear (módulo) da ponta.
A relação entre velocidade linear , velocidade angular
e raio
é
A relação entre velocidade linear
onde
é o módulo da velocidade tangencial da partícula na borda. Substituindo
e
:
Aproximação numérica:
Passo 6
Explicar e calcular a aceleração (módulo).
Em movimento circular uniforme a aceleração é centrípeta (voltada ao centro) e seu módulo é dado por duas formas equivalentes:
Em movimento circular uniforme a aceleração é centrípeta (voltada ao centro) e seu módulo é dado por duas formas equivalentes:
onde
é o módulo da aceleração centrípeta. Usando
e
:
Aproximação numérica (
):
Passo 7
Calcular o período do movimento.
O período é o tempo para uma volta, ou seja, o inverso da frequência:
O período
Como
,
Também pode-se obter diretamente de
rpm:
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)