Pendura-se um quadro em uma parede, por meio de dois fios presos aos cantos superiores. Se os dois fios fazem o mesmo ângulo (
) com a vertical, qual deve ser este ângulo para que a tração em cada fio seja igual ao peso do quadro?
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o ângulo
(medido em relação à vertical) que os dois fios devem fazer para que a tração em cada fio seja igual ao peso do quadro.
Informações dadas e incógnitas importantes:
Informações dadas e incógnitas importantes:
- O quadro pesa
(o peso atua verticalmente para baixo). - Existem dois fios idênticos, presos simetricamente aos cantos superiores do quadro.
- Cada fio faz o mesmo ângulo
com a vertical. - Condição exigida: a tração em cada fio, chamada
, deve ser igual ao peso do quadro, isto é . - Objetivo: determinar
que satisfaz essa condição.
Passo 2
Entender as forças e como decompor a tração em componentes (aula rápida e intuitiva).
Quando um fio puxa com força num ângulo
em relação à vertical, essa força tem duas componentes:
Quando um fio puxa com força
- componente vertical (para cima):
; - componente horizontal (para fora):
.
Explicando por que: imaginar o vetor força
formando um triângulo retângulo com as suas projeções vertical e horizontal; o cosseno relaciona o cateto adjacente (vertical, aqui) à hipotenusa
, e o seno relaciona o cateto oposto (horizontal) à hipotenusa
. Como o ângulo dado é com a vertical, usamos
para a componente vertical.
Passo 3
Escrever as condições de equilíbrio vertical e horizontal (estático).
- Equilíbrio horizontal: as duas componentes horizontais são de mesma magnitude e sentidos opostos, portanto se cancelam automaticamente (graças à simetria). Não precisamos calcular nada extra para isso.
- Equilíbrio vertical: a soma das componentes verticais para cima deve equilibrar o peso para baixo. Assim:
Aqui o
aparece porque há dois fios, cada um contribuindo com
para cima.
Passo 4
Aplicar a condição adicional dada pelo enunciado (
). Substituindo na equação de equilíbrio vertical:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Assim:
Passo 5
Determinar o ângulo a partir do cosseno encontrado. Sabendo as razões trigonométricas conhecidas:
Recordando que
, concluímos
Em radianos isso é
.
Passo 6
Verificação rápida (sanidade): com
e
, a componente vertical de cada fio é
e as duas juntas dão
, exatamente o peso. As componentes horizontais são
em sentidos opostos e se anulam. Portanto a solução é consistente.