Pendura-se um quadro em uma parede, por meio de dois fios presos aos cantos superiores. Se os dois fios fazem o mesmo ângulo ( \theta ) com a vertical, qual deve ser este ângulo para que a tração em cada fio seja igual ao peso do quadro?

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o ângulo \theta (medido em relação à vertical) que os dois fios devem fazer para que a tração em cada fio seja igual ao peso do quadro.
Informações dadas e incógnitas importantes:
  • O quadro pesa \,W (o peso atua verticalmente para baixo).
  • Existem dois fios idênticos, presos simetricamente aos cantos superiores do quadro.
  • Cada fio faz o mesmo ângulo \theta com a vertical.
  • Condição exigida: a tração em cada fio, chamada \,T, deve ser igual ao peso do quadro, isto é \,T=W.
  • Objetivo: determinar \theta que satisfaz essa condição.

Passo 2

Entender as forças e como decompor a tração em componentes (aula rápida e intuitiva).
Quando um fio puxa com força \,T num ângulo \theta em relação à vertical, essa força tem duas componentes:
  • componente vertical (para cima): \,T_{\text{vert}} = T\cos\theta;
  • componente horizontal (para fora): \,T_{\text{hor}} = T\sin\theta.
Explicando por que: imaginar o vetor força T formando um triângulo retângulo com as suas projeções vertical e horizontal; o cosseno relaciona o cateto adjacente (vertical, aqui) à hipotenusa T, e o seno relaciona o cateto oposto (horizontal) à hipotenusa T. Como o ângulo dado é com a vertical, usamos \cos\theta para a componente vertical.

Passo 3

Escrever as condições de equilíbrio vertical e horizontal (estático).
  • Equilíbrio horizontal: as duas componentes horizontais são de mesma magnitude e sentidos opostos, portanto se cancelam automaticamente (graças à simetria). Não precisamos calcular nada extra para isso.
  • Equilíbrio vertical: a soma das componentes verticais para cima deve equilibrar o peso para baixo. Assim:
2\,T\cos\theta = W.
Aqui o 2 aparece porque há dois fios, cada um contribuindo com T\cos\theta para cima.

Passo 4

Aplicar a condição adicional dada pelo enunciado ( T=W). Substituindo na equação de equilíbrio vertical:
2\,W\cos\theta = W.
Dividindo ambos os lados por W (assumindo W>0):
2\cos\theta = 1.
Assim:
\cos\theta = \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Determinar o ângulo a partir do cosseno encontrado. Sabendo as razões trigonométricas conhecidas:
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
Recordando que \cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}, concluímos
\theta = 60^\circ.
Em radianos isso é \theta = \tfrac{\pi}{3}.

Passo 6

Verificação rápida (sanidade): com \theta=60^\circ e T=W, a componente vertical de cada fio é
T\cos\theta = W\cdot\cos 60^\circ = W\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{W}{2},
e as duas juntas dão \tfrac{W}{2}+\tfrac{W}{2}=W, exatamente o peso. As componentes horizontais são W\sin60^\circ em sentidos opostos e se anulam. Portanto a solução é consistente.

Resposta

\theta = 60^\circ

Exercícios relacionados