- A partícula A se move ao longo da reta
com velocidade constante
de módulo igual a
na direção paralela ao eixo
positivo. Uma partícula B parte da origem com velocidade nula e aceleração constante
de módulo igual a
, no mesmo instante em que a partícula A passa pelo eixo
. Que ângulo
entre
e o eixo
positivo resultaria em um choque entre as duas
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar o ângulo
entre e o eixo positivo que faz com que as partículas A e B choquem.
Informações dadas (peguei alguns valores da figura):
- A move-se ao longo da reta
, passando pelo eixo no instante (dado do enunciado/figura). - A tem velocidade constante
de módulo dirigida paralela ao eixo positivo (peguei da figura/texto). - No mesmo instante
, a partícula B parte da origem com velocidade inicial nula e aceleração constante de módulo formando um ângulo com o eixo positivo (valor e definição do ângulo estão no enunciado/figura). - Pede-se apenas
(um único ângulo que permita o choque).
Passo 2
Escolha de referencial e equação da trajetória da partícula A:
- Coloca-se a origem no ponto onde B parte (como na figura) e usa-se eixos
e usuais. - No instante
a partícula A está em e desloca-se no sentido positivo de com velocidade constante. Logo, a posição de A em função do tempo é dada por:
Explicação didática: para movimento com velocidade constante e dirección conhecida, a posição varia linearmente com o tempo segundo
. Aqui
e
é constante.
Passo 3
Equações de movimento de B (aceleração constante, partindo do repouso) e decomposição em componentes:
- Para aceleração constante e velocidade inicial nula, a posição de B é
- Como
é o ângulo entre e o eixo positivo (medido a partir do eixo em direção ao eixo positivo, conforme figura), as componentes de são
- Portanto as coordenadas de B são
Explicação didática: decompor a aceleração em componentes permite aplicar a fórmula escalar
e
separadamente, porque os eixos
e
são ortogonais e a aceleração é constante.
Passo 4
Condição de choque (posições iguais ao mesmo tempo):
- Para haver choque em algum instante
, é preciso
Substituindo as expressões das Passos 2 e 3, obtemos o sistema
Explicação didática: igualamos as coordenadas porque no choque ambas partículas ocupam o mesmo ponto
ao mesmo instante.
Passo 5
Eliminação de
— primeira manipulação:
- Da primeira equação, como
no instante do choque, divide-se ambos os lados por para obter
- Isolando
,
Explicação didática: dividir por
é legítimo porque o choque não ocorre no instante
(B está na origem e A em
em
), então procuramos
.
Passo 6
Substituição em
e obtenção da equação para
:
- Substitui-se
na segunda equação. Primeiro eleva-se a expressão de ao quadrado:
- Substituindo em
dá
- Simplificando passo a passo:
- Isolando a razão trigonométrica,
- Agora substitui-se os valores numéricos (pegos do enunciado/figura):
e . Calcula-se
Assim
Explicação didática: substituir as constantes e simplificar torna a equação trigonométrica manejável.
Passo 7
Redução para uma equação algébrica em
e resolução:
- Escreve-se a equação em termos de
usando :
- Multiplicando e reorganizando obtém-se uma equação quadrática em
:
- Resolve-se a quadrática com a fórmula de Bhaskara:
- As raízes são
e . Como deve satisfazer , a única solução física é
Explicação didática: reduzir para uma equação em
evita lidar com funções transcendentes; escolher a solução física exige verificar o domínio da função cosseno.
Passo 8
Observações finais e interpretação:
- A solução
corresponde a um ângulo agudo (entre e ), coerente com a figura onde a aceleração de B tem componente positiva em e também componente positiva em . - Em provas, um caminho rápido é montar as duas equações de posição e eliminar
(como foi feito) para obter uma relação trigonométrica só em . Sempre verificar se as raízes obtidas são fisicamente aceitáveis (domínio das funções).