1. A partícula A se move ao longo da reta y=30 m com velocidade constante \vec{v} de módulo igual a 3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na direção paralela ao eixo x positivo. Uma partícula B parte da origem com velocidade nula e aceleração constante \vec{a} de módulo igual a 0,40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, no mesmo instante em que a partícula A passa pelo eixo y. Que ângulo \theta entre \vec{a} e o eixo y positivo resultaria em um choque entre as duas

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o ângulo \theta entre \vec{a} e o eixo y positivo que faz com que as partículas A e B choquem.
Informações dadas (peguei alguns valores da figura):
  • A move-se ao longo da reta y=30\\ \mathrm{m}, passando pelo eixo y no instante t=0 (dado do enunciado/figura).
  • A tem velocidade constante \vec{v} de módulo \;v = 3{,}0\\ \mathrm{m/s}\; dirigida paralela ao eixo x positivo (peguei v da figura/texto).
  • No mesmo instante t=0, a partícula B parte da origem com velocidade inicial nula e aceleração constante de módulo \;a = 0{,}40\\ \mathrm{m/s^{2}}\; formando um ângulo \theta com o eixo y positivo (valor a e definição do ângulo estão no enunciado/figura).
  • Pede-se apenas \theta (um único ângulo que permita o choque).

Passo 2

Escolha de referencial e equação da trajetória da partícula A:
  • Coloca-se a origem no ponto onde B parte (como na figura) e usa-se eixos x e y usuais.
  • No instante t=0 a partícula A está em (x,y)=(0,30\\ \mathrm{m}) e desloca-se no sentido positivo de x com velocidade constante. Logo, a posição de A em função do tempo é dada por:
x_A(t)=v\,t,
y_A(t)=30.
Explicação didática: para movimento com velocidade constante e dirección conhecida, a posição varia linearmente com o tempo segundo x(t)=x_0+v_x t. Aqui v_x=v e y é constante.

Passo 3

Equações de movimento de B (aceleração constante, partindo do repouso) e decomposição em componentes:
  • Para aceleração constante e velocidade inicial nula, a posição de B é
\vec{r}_B(t)=\tfrac{1}{2}\,\vec{a}\,t^{2}.
  • Como \theta é o ângulo entre \vec{a} e o eixo y positivo (medido a partir do eixo y em direção ao eixo x positivo, conforme figura), as componentes de \vec{a} são
a_x = a\sin\theta,\qquad a_y = a\cos\theta.
  • Portanto as coordenadas de B são
x_B(t)=\tfrac{1}{2}\,a\sin\theta\;t^{2},
y_B(t)=\tfrac{1}{2}\,a\cos\theta\;t^{2}.
Explicação didática: decompor a aceleração em componentes permite aplicar a fórmula escalar \,x=\tfrac12 a_x t^2 e \,y=\tfrac12 a_y t^2 separadamente, porque os eixos x e y são ortogonais e a aceleração é constante.

Passo 4

Condição de choque (posições iguais ao mesmo tempo):
  • Para haver choque em algum instante t>0, é preciso
x_A(t)=x_B(t),
y_A(t)=y_B(t).
Substituindo as expressões das Passos 2 e 3, obtemos o sistema
v\,t=\tfrac{1}{2}\,a\sin\theta\;t^{2},
30=\tfrac{1}{2}\,a\cos\theta\;t^{2}.
Explicação didática: igualamos as coordenadas porque no choque ambas partículas ocupam o mesmo ponto (x,y) ao mesmo instante.

Passo 5

Eliminação de t — primeira manipulação:
  • Da primeira equação, como t>0 no instante do choque, divide-se ambos os lados por t para obter
v=\tfrac{1}{2}\,a\sin\theta\;t.
  • Isolando t,
t=\dfrac{2v}{a\sin\theta}.
Explicação didática: dividir por t é legítimo porque o choque não ocorre no instante t=0 (B está na origem e A em y=30 em t=0), então procuramos t>0.

Passo 6

Substituição em y e obtenção da equação para \theta:
  • Substitui-se t^{2} na segunda equação. Primeiro eleva-se a expressão de t ao quadrado:
t^{2}=\left(\dfrac{2v}{a\sin\theta}\right)^{2}=\dfrac{4v^{2}}{a^{2}\sin^{2}\theta}.
  • Substituindo em 30=\tfrac{1}{2}a\cos\theta\,t^{2}
30=\tfrac{1}{2}a\cos\theta\cdot \dfrac{4v^{2}}{a^{2}\sin^{2}\theta}.
  • Simplificando passo a passo:
30=\dfrac{4v^{2}}{2a}\cdot \dfrac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}=\dfrac{2v^{2}}{a}\cdot \dfrac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}.
  • Isolando a razão trigonométrica,
\dfrac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}=\dfrac{30\,a}{2v^{2}}=\dfrac{15\,a}{v^{2}}.
  • Agora substitui-se os valores numéricos (pegos do enunciado/figura): a=0{,}40\\ \mathrm{m/s^{2}} e v=3{,}0\\ \mathrm{m/s}. Calcula-se
\dfrac{15\,a}{v^{2}}=\dfrac{15\cdot 0{,}40}{(3{,}0)^{2}}=\dfrac{6}{9}=\tfrac{2}{3}.
Assim
\dfrac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}=\tfrac{2}{3}.
Explicação didática: substituir as constantes e simplificar torna a equação trigonométrica manejável.

Passo 7

Redução para uma equação algébrica em \cos\theta e resolução:
  • Escreve-se a equação em termos de \cos\theta usando \sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta:
\cos\theta=\tfrac{2}{3}\,(1-\cos^{2}\theta).
  • Multiplicando e reorganizando obtém-se uma equação quadrática em u=\cos\theta:
u=\tfrac{2}{3}-\tfrac{2}{3}u^{2}\quad\Longrightarrow\quad 2u^{2}+3u-2=0.
  • Resolve-se a quadrática com a fórmula de Bhaskara:
u=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^{2}-4\cdot 2\cdot(-2)}}{2\cdot 2}=\dfrac{-3\pm\sqrt{25}}{4}=\dfrac{-3\pm 5}{4}.
  • As raízes são u=\dfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2} e u=\dfrac{-8}{4}=-2. Como \cos\theta deve satisfazer -1\le\cos\theta\le 1, a única solução física é
\cos\theta=\tfrac{1}{2}.
Explicação didática: reduzir para uma equação em \cos\theta evita lidar com funções transcendentes; escolher a solução física exige verificar o domínio da função cosseno.

Passo 8

Observações finais e interpretação:
  • A solução \cos\theta=\tfrac{1}{2} corresponde a um ângulo \theta agudo (entre 0^\circ e 90^\circ), coerente com a figura onde a aceleração de B tem componente positiva em y e também componente positiva em x.
  • Em provas, um caminho rápido é montar as duas equações de posição e eliminar t (como foi feito) para obter uma relação trigonométrica só em \theta. Sempre verificar se as raízes obtidas são fisicamente aceitáveis (domínio das funções).

Resposta

60^\circ

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