As pás de um ventilador estão rodando em sentido anti-horário com módulo da velocidade angular omegao. O aparelho é desligado, reduzindo sua velocidade angular uniformemente. Após um intervalo de tempo t, se observa que a velocidade angular diminuiu para omegao / 2. O número de voltas realizado durante esse intervalo de tempo está dado por:
a. 1 /(2 pi) omegao t
b. 3 /(8 pi) omegao t
c. 3 /(4 pi) omegao t
d. 1 /(4 pi) omegao t
e. 5 /(8 pi) omega0 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre as pás de um ventilador que estão girando no sentido anti-horário com uma velocidade angular inicial de omegao. Quando o ventilador é desligado, essa velocidade diminui de forma uniforme até a metade, ou seja, omegao/2, após um tempo t. Nosso objetivo é descobrir quantas voltas as pás deram nesse tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre cinemática angular, que estuda o movimento de rotação, e usar algumas fórmulas básicas dessa matéria.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que, como a velocidade angular está diminuindo de forma uniforme, estamos lidando com uma aceleração angular constante. Isso significa que a velocidade diminui de maneira linear ao longo do tempo.

Passo 3

Para encontrar o número total de voltas, vamos calcular o ângulo total que as pás percorreram durante esse intervalo de tempo. A fórmula para o ângulo total theta em um movimento com aceleração angular constante é:
theta = omegao t + 12 alpha t^2
Onde:
  • omegao é a velocidade angular inicial,
  • alpha é a aceleração angular,
  • t é o tempo.

Passo 4

Sabemos que a velocidade angular final é metade da inicial, ou seja, omega = omegao2. Podemos usar essa informação para encontrar a aceleração angular alpha. A relação entre velocidade final, inicial, aceleração e tempo é:
omega = omegao + alpha t
Substituindo omega = omegao2:
omegao2 = omegao + alpha t
Resolvendo para alpha:
alpha = -omegao2t

Passo 5

Agora, substituímos alpha na fórmula do ângulo total:
theta = omegao t + 12 (-omegao2t) t^2 = omegao t - omegao t4 = 34 omegao t

Passo 6

Para encontrar o número de voltas N, dividimos o ângulo total pelo ângulo de uma volta completa, que é 2pi radianos:
N = theta2pi = 34 omegao t2pi = 38pi omegao t

Resposta

A alternativa correta é a b. 38 pi omegao t.

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