Dois pontos materiais a e b move-se com as seguintes velocidades: va=2 i-j+2 k e vb=4 i+4 j+2 k.
b) Determine o ângulo entre os vectores velocidades.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que temos envolve dois vetores de velocidade, va=2 i-j+2 k e vb=4 i+4 j+2 k. O que precisamos descobrir é o ângulo entre esses dois vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar e magnitude de vetores que fazem parte da matéria de vetores na Física e Matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar, representado por va cdot vb, é dado pela soma das multiplicações das componentes correspondentes dos vetores. Ou seja:
va cdot vb = vax times vbx + vay times vby + vaz times vbz
No nosso caso:
va cdot vb = (2)(4) + (-1)(4) + (2)(2)
Fazendo as multiplicações:
va cdot vb = 8 - 4 + 4 = 8

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude (ou módulo) de cada vetor. A magnitude de um vetor v = vx i + vy j + vz k é calculada pela fórmula:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Calculando para va:
|va| = raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3
E para vb:
|vb| = raiz4^2 + 4^2 + 2^2 = raiz16 + 16 + 4 = raiz36 = 6

Passo 4

Com o produto escalar e as magnitudes calculadas, podemos usar a fórmula do ângulo entre dois vetores:
cos(theta) = va cdot vb|va| , |vb|
Substituindo os valores que encontramos:
cos(theta) = 83 times 6 = 818 = 49

Passo 5

Para encontrar o ângulo theta, precisamos aplicar a função arcos (ou cos^-1) no resultado:
theta = cos^-1(49)
Usando uma calculadora:
theta approx cos^-1(0,4444) approx 63,26^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores velocidades va e vb é aproximadamente 63,26 graus.

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