As pás de um ventilador estão rodando em sentido anti-horário com módulo da velocidade angular \omega_{0}. O aparelho é desligado reduzindo sua velocidade angular uniformemente. Após um intervalo de tempo t, se observa que a velocidade angular diminuiu para \omega_{0} / 2. O número de voltas realizado durante esse intervalo de tempo está dado por:
a) (5 / 8 \pi) \omega_{0} t
b) (3 / 8 \pi) \omega_{0} t
c) (3 / 4 \pi) \omega_{0} t
d) (1 / 4 \pi) \omega_{0} t
e) (1 / 2 \pi) \omega_{0} t

Passo 1

O enunciado fala de pás de ventilador que partem de uma velocidade angular inicial \omega_0 e desaceleram uniformemente até atingirem \omega_0/2 em um intervalo de tempo t. O conteúdo é cinemática rotacional com aceleração angular constante, e queremos o número de voltas realizadas nesse intervalo.

Passo 2

Em movimento rotacional uniformemente variado, a aceleração angular \alpha é dada por
\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t},
onde \omega_0 é a velocidade angular inicial e \omega é a velocidade angular final.

Passo 3

Aqui \omega = \omega_0/2, logo
\alpha = \frac{\tfrac{\omega_0}{2} - \omega_0}{t} = -\frac{\omega_0}{2t}.

Passo 4

O deslocamento angular \Delta\theta em MUV rotacional é
\Delta\theta = \omega_0\,t + \frac{1}{2}\,\alpha\,t^2.

Passo 5

Substituindo \alpha = -\tfrac{\omega_0}{2t} em \Delta\theta:
\Delta\theta = \omega_0\,t + \frac{1}{2}\Bigl(-\frac{\omega_0}{2t}\Bigr)t^2 = \omega_0\,t - \frac{1}{4}\,\omega_0\,t = \frac{3}{4}\,\omega_0\,t.

Passo 6

O número de voltas N é o deslocamento angular dividido por 2\pi:
N = \frac{\Delta\theta}{2\pi} = \frac{\tfrac{3}{4}\,\omega_0\,t}{2\pi} = \frac{3}{8\pi}\,\omega_0\,t.
Isso corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b)

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