Calcule o producto vetorial \vec{a} \times \vec{b} entre os vetores \vec{a} e \vec{b} onde:
\vec{a}=3 \hat{\imath}-\hat{\jmath}+\hat{k} e \vec{b}=-6 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-2 \hat{k};

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
\vec{a}=3\,\hat{\imath}-1\,\hat{\jmath}+1\,\hat{k}, \quad \vec{b}=-6\,\hat{\imath}+2\,\hat{\jmath}-2\,\hat{k},
e pede o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b}. O conteúdo aqui é a definição de produto vetorial em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), usamos a fórmula
\vec{a}\times\vec{b} =(a_2b_3 - a_3b_2)\,\hat{\imath} +(a_3b_1 - a_1b_3)\,\hat{\jmath} +(a_1b_2 - a_2b_1)\,\hat{k}.

Passo 3

Aqui \vec{a}=(3,-1,1) e \vec{b}=(-6,2,-2). Calculamos cada componente:
a_2b_3 - a_3b_2 = (-1)(-2) - (1)(2) = 2 - 2 = 0,
a_3b_1 - a_1b_3 = (1)(-6) - (3)(-2) = -6 + 6 = 0,
a_1b_2 - a_2b_1 = (3)(2) - (-1)(-6) = 6 - 6 = 0.
Portanto todos os componentes são zero.

Passo 4

Quando \vec{a}\times\vec{b}=\mathbf{0}, isso indica que \vec{a} e \vec{b} são colineares (de fato \vec{b}=-2\,\vec{a}).

Resposta

\displaystyle \vec{a}\times\vec{b}=\mathbf{0}

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