Um pássaro pode voar a 25 km/h. Um trem elétrico local movimenta-se a 25 km/h sobre uma linha reta e horizontal. Um estudante que está no trem atira o pássaro para o ar, na vertical, a 25 km/h. (a) Qual a velocidade do pássaro em relação ao solo? (b) Qual a direção do pássaro em relação ao solo?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • A velocidade do trem em relação ao solo é \vec v_T com módulo 25\\ \text{km/h} e direção horizontal.
    • O estudante, dentro do trem, lança o pássaro verticalmente (para cima) com velocidade relativa ao trem de módulo 25\\ \text{km/h}. Vou chamar essa velocidade de \vec v_{B/T}.
  • Perguntas:
    • (a) Qual a velocidade do pássaro em relação ao solo (módulo)?
    • (b) Qual a direção do pássaro em relação ao solo?

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (explicação didática): velocidades relativas somam-se como vetores.
  • Se algo A está em um referencial que se move com velocidade \vec v_T em relação ao solo, e dentro desse referencial B tem velocidade \vec v_{B/T}, então a velocidade de B em relação ao solo é a soma vetorial
\vec v_B=\vec v_T+\vec v_{B/T}.
  • Aqui “soma vetorial” significa somar as componentes horizontais entre si e as componentes verticais entre si. Vou explicar isso com bastante calma nos próximos passos.

Passo 3

Escolha de sistema de coordenadas (para tornar a soma vetorial concreta):
  • Tomo o eixo x na direção horizontal do movimento do trem (para frente do trem) e o eixo y para cima (vertical).
  • A velocidade do trem, sendo horizontal e de módulo 25\\ \text{km/h}, tem componente x igual a 25 e componente y igual a 0. Escrevo:
\vec v_T = (25,\,0)\\ \text{km/h}.
  • A velocidade do pássaro relativa ao trem é vertical para cima de módulo 25\\ \text{km/h}, então tem componente x igual a 0 e componente y igual a 25:
\vec v_{B/T} = (0,\,25)\\ \text{km/h}.

Passo 4

Soma vetorial (aplico \vec v_B=\vec v_T+\vec v_{B/T} somando componentes):
  • Somando componente a componente:
\vec v_B = (25+0,\;0+25) = (25,\,25)\\ \text{km/h}.
  • Interpretação: em relação ao solo o pássaro tem 25\\ \text{km/h} para a frente (horizontal) e 25\\ \text{km/h} para cima (vertical).

Passo 5

Cálculo do módulo (velocidade escalar) a partir das componentes (fórmula e ensino):
  • Para um vetor com componentes (v_x,\,v_y), o módulo é dado por
\lVert \vec v\rVert = \sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
  • Aplicando ao caso \vec v_B=(25,\,25):
\lVert \vec v_B\rVert = \sqrt{25^{2}+25^{2}} = \sqrt{2\cdot 25^{2}} = 25\sqrt{2}.
  • Valor numérico aproximado (usando \sqrt{2}\approx1,41421356):
25\sqrt{2}\approx 35,36\\ \text{km/h}.

Passo 6

Cálculo da direção (ângulo acima da horizontal) e explicação:
  • O ângulo \theta entre o vetor e o eixo x (horizontal) satisfaz
\tan\theta=\frac{v_y}{v_x}.
  • No nosso caso v_x=25 e v_y=25, logo
\tan\theta=\frac{25}{25}=1 \quad\Rightarrow\quad \theta=45^\circ.
  • Interpretação simples: o pássaro segue, em relação ao solo, numa direção que forma \;45^\circ\; acima da horizontal, no sentido do movimento do trem.

Passo 7

Resumo físico e observações práticas (curtinha e motivadora):
  • Resultado obtido usa cinemática clássica (adição vetorial) e assume que as velocidades são simplesmente somadas — isso é perfeitamente válido para problemas cotidianos como este.
  • Parabéns: a conta foi direta porque os módulos eram iguais, o que simplificou a razão entre componentes.

Resposta

(a) 25\sqrt{2}\\ \text{km/h}\approx 35,36\\ \text{km/h}
(b) 45^\circ acima da horizontal (no sentido do movimento do trem)

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