Parametrize a trajetória de uma partícula que se desloca no espaço a partir do ponto (
) mantendo-se paralela ao vetor
.
(Resposta)
(Resposta)
Passo 1
O enunciado dá claramente as seguintes informações:
- O ponto inicial é
. - O vetor direcional (paralelo à trajetória) é
.
A pergunta é: parametrizar a trajetória da partícula que parte dee se desloca mantendo-se paralela a . Ou seja, encontrar uma função vetor que descreva a posição da partícula em função de um parâmetro .
Passo 2
Ideia básica (passo-a-passo leve): uma reta no espaço pode ser descrita como um ponto fixo mais um múltiplo do vetor direção. Denotando o vetor posição inicial por
e o vetor direção por
, a forma natural é
Aqui cada símbolo significa:
-
é o vetor posição no instante (ou parâmetro) . -
é o vetor posição inicial (pegado do enunciado). -
é o vetor direção (pegado do enunciado). -
é o parâmetro (pode ser tempo, ou apenas um parâmetro geométrico); variar desloca a partícula ao longo da reta.
Passo 3
Escrevendo em componentes (para ficar bem explícito e poder fazer na prova sem mistério):
Isto significa, componente a componente,
Domínio natural:
para a reta inteira; se for movimento físico,
pode ser o tempo e então usar o intervalo adequado.
Passo 4
Verificação rápida (como provar que isso funciona): derivando
em relação a
obtemos
ou seja, a velocidade é exatamente
, logo a trajetória é paralela a
(na verdade tem direção igual a
). Esse é um jeito direto de checar em prova: derivada igual ao vetor dado.
Passo 5
Caso em que só importa a direção (não a magnitude): se o enunciado quiser que o parâmetro meça distância percorrida ao longo da reta, normaliza-se
. Definindo
com
pode-se usar o parâmetro de comprimento de arco
e escrever
onde agora
é a distância percorrida a partir de
.
Passo 6
Caso degenerado: se
então a partícula NÃO se desloca; a trajetória é o ponto fixo. Neste caso a parametrização é simplesmente
Passo 7
Forma simétrica (útil em provas): quando
,
,
são não nulos pode-se eliminar
e escrever a equação da reta na forma
observando que se algum dos componentes for zero deve-se tratar esse caso separadamente (por exemplo, se
então
ao longo da reta).
Resposta
(Se