Parametrize a trajetória de uma partícula que se desloca no espaço a partir do ponto ( x_{o}, y_{o}, z_{o} ) mantendo-se paralela ao vetor v=(a, b, c).
(Resposta)

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações:
  • O ponto inicial é (x_{0},y_{0},z_{0}).
  • O vetor direcional (paralelo à trajetória) é v=(a,b,c).
    A pergunta é: parametrizar a trajetória da partícula que parte de (x_{0},y_{0},z_{0}) e se desloca mantendo-se paralela a v. Ou seja, encontrar uma função vetor \mathbf{r}(t) que descreva a posição da partícula em função de um parâmetro t.

Passo 2

Ideia básica (passo-a-passo leve): uma reta no espaço pode ser descrita como um ponto fixo mais um múltiplo do vetor direção. Denotando o vetor posição inicial por \mathbf{r}_0 e o vetor direção por \mathbf{v}, a forma natural é
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0 + t\,\mathbf{v}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \mathbf{r}(t) é o vetor posição no instante (ou parâmetro) t.
  • \mathbf{r}_0=\langle x_{0},y_{0},z_{0}\rangle é o vetor posição inicial (pegado do enunciado).
  • \mathbf{v}=\langle a,b,c\rangle é o vetor direção (pegado do enunciado).
  • t é o parâmetro (pode ser tempo, ou apenas um parâmetro geométrico); variar t desloca a partícula ao longo da reta.

Passo 3

Escrevendo em componentes (para ficar bem explícito e poder fazer na prova sem mistério):
\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle = \langle x_{0}+a t,\; y_{0}+b t,\; z_{0}+c t\rangle.
Isto significa, componente a componente,
x(t)=x_{0}+a t,\qquad y(t)=y_{0}+b t,\qquad z(t)=z_{0}+c t.
Domínio natural: t\in\mathbb{R} para a reta inteira; se for movimento físico, t pode ser o tempo e então usar o intervalo adequado.

Passo 4

Verificação rápida (como provar que isso funciona): derivando \mathbf{r}(t) em relação a t obtemos
\mathbf{r}'(t)=\langle a,b,c\rangle=\mathbf{v},
ou seja, a velocidade é exatamente \mathbf{v}, logo a trajetória é paralela a \mathbf{v} (na verdade tem direção igual a \mathbf{v}). Esse é um jeito direto de checar em prova: derivada igual ao vetor dado.

Passo 5

Caso em que só importa a direção (não a magnitude): se o enunciado quiser que o parâmetro meça distância percorrida ao longo da reta, normaliza-se \mathbf{v}. Definindo \hat{\mathbf{v}}=\dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} com
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}},
pode-se usar o parâmetro de comprimento de arco s e escrever
\mathbf{r}(s)=\mathbf{r}_0 + s\,\hat{\mathbf{v}},\qquad s\in\mathbb{R},
onde agora |s| é a distância percorrida a partir de \mathbf{r}_0.

Passo 6

Caso degenerado: se \mathbf{v}=(0,0,0) então a partícula NÃO se desloca; a trajetória é o ponto fixo. Neste caso a parametrização é simplesmente
\mathbf{r}(t)=\langle x_{0},y_{0},z_{0}\rangle.

Passo 7

Forma simétrica (útil em provas): quando a, b, c são não nulos pode-se eliminar t e escrever a equação da reta na forma
\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c},
observando que se algum dos componentes for zero deve-se tratar esse caso separadamente (por exemplo, se a=0 então x=x_{0} ao longo da reta).

Resposta

\mathbf{r}(t)=\langle x_{0}+a t,\; y_{0}+b t,\; z_{0}+c t\rangle,\quad t\in\mathbb{R}.
(Se \mathbf{v}=(0,0,0), então \mathbf{r}(t)=\langle x_{0},y_{0},z_{0}\rangle.)

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