Dois pássaros voam segundo os seguintes vetores posição:
\sigma_{1}(t)=\left(1+t, 2+t^{2}, 3\right) \quad \text { e } \quad \sigma_{2}(t)=\left(1-t^{2}, 1+t^{2}, 3\right), \quad t \geq 0
(a) Mostre que eles nunca se chocarão.
(b) Esboce os caminhos sobre os quais os pássaros se movem. Determine, caso exista, o ponto no qual estes caminhos se cruzam.
(c) Calcule as velocidades dos pássaros no instante t=2.
(d) Se o primeiro pássaro parte do ponto (1,2,3), determine a distância percorrida por ele após duas horas.

Passo 1

O enunciado dá as trajetórias paramétricas dos dois pássaros para t\ge 0:
\sigma_{1}(t)=\bigl(1+t,\;2+t^{2},\;3\bigr),\qquad \sigma_{2}(t)=\bigl(1-t^{2},\;1+t^{2},\;3\bigr).
As perguntas são:
(a) Mostrar se eles alguma vez colidem (isto é, ocupam o mesmo ponto ao mesmo instante t).
(b) Esboçar os caminhos (as curvas no espaço/planos) e, caso exista, determinar o ponto de interseção dos caminhos.
(c) Calcular as velocidades dos pássaros no instante t=2.
(d) Supondo que o primeiro pássaro parte de (1,2,3), determinar a distância percorrida por ele após duas horas (distância ao longo da curva de t=0 a t=2).

Passo 2

(a) Para haver colisão os vetores posição de ambos devem ser iguais ao mesmo t. Assim precisamos resolver
\sigma_1(t)=\sigma_2(t),
isto é, as três igualdades coordenada a coordenada:
1+t=1-t^{2},\qquad 2+t^{2}=1+t^{2},\qquad 3=3.
Analiso cada uma: da primeira igualdade
1+t=1-t^{2}\quad\Longrightarrow\quad t+t^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad t(t+1)=0,
portanto as soluções são t=0 ou t=-1. Como o domínio é t\ge 0, o único candidato é t=0.
Agora verifico a segunda igualdade com t=0:
2+t^{2}\Big|_{t=0}=2\quad\text{e}\quad 1+t^{2}\Big|_{t=0}=1,
ou seja 2\neq 1. Há contradição: as coordenadas y não coincidem em t=0. Logo não existe t\ge 0 tal que \sigma_1(t)=\sigma_2(t).
Conclusão: os pássaros nunca se chocam (não ocupam o mesmo ponto ao mesmo instante).

Passo 3

(b) Vamos encontrar as equações das curvas projetadas no plano z=3 (já que ambas têm coordenada z=3 fixa). Elimino o parâmetro t em cada pista.
Para \sigma_1: x=1+t então t=x-1. Substituindo em y:
y=2+t^{2}=2+(x-1)^{2}.
Portanto a trajetória do primeiro pássaro é a parábola no plano z=3 dada por
y=2+(x-1)^{2},\qquad z=3.
Para \sigma_2: x=1-t^{2} t^{2}=1-x. Substituindo em y:
y=1+t^{2}=1+(1-x)=2-x.
Portanto a trajetória do segundo pássaro é a reta no plano z=3
y=2-x,\qquad z=3.
Agora verifico se as curvas se cruzam (ponto comum, independentemente do tempo). Igualo as equações em x:
2+(x-1)^{2}=2-x\quad\Longrightarrow\quad (x-1)^{2}+x=0.
Desenvolvendo:
x^{2}-2x+1+x=0\quad\Longrightarrow\quad x^{2}-x+1=0.
O discriminante é \Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot1=1-4=-3<0. Portanto não há solução real para x: as curvas não se intersectam em nenhum ponto real.
Sobre a orientação (sentido do movimento): para \sigma_1 temos x=1+t que cresce com t, e y=2+t^{2} cresce com |t| (aqui para t\ge0 também cresce). Logo o primeiro pássaro vai da esquerda para a direita com y aumentando (sobe pela parábola a partir do vértice em t=0). Para \sigma_2: x=1-t^{2} diminui quando t aumenta e y=1+t^{2} aumenta; ou seja, o segundo pássaro desloca-se para a esquerda e para cima ao aumentar t.
Descrição do esboço: a parábola tem vértice em (1,2,3) e abre para cima no plano z=3; a reta tem inclinação -1 (passa por (0,2,3) e por (1,1,3)), e as duas curvas ficam em níveis diferentes de y em todos os pontos, portanto não se cruzam.

Passo 4

(c) A velocidade é a derivada do vetor posição em relação a t: \mathbf{v}(t)=\sigma'(t). Derivo componente a componente.
Para o primeiro pássaro:
\sigma_1'(t)=\bigl(\tfrac{d}{dt}(1+t),\;\tfrac{d}{dt}(2+t^{2}),\;\tfrac{d}{dt}3\bigr)=(1,\;2t,\;0).
No instante t=2:
\sigma_1'(2)=(1,\;4,\;0).
A velocidade escalar (módulo da velocidade, chamada rapidez) é
\bigl\lVert\sigma_1'(2)\bigr\rVert=\sqrt{1^{2}+4^{2}+0^{2}}=\sqrt{17}.
Para o segundo pássaro:
\sigma_2'(t)=\bigl(\tfrac{d}{dt}(1-t^{2}),\;\tfrac{d}{dt}(1+t^{2}),\;0\bigr)=(-2t,\;2t,\;0).
No instante t=2:
\sigma_2'(2)=(-4,\;4,\;0).
E a rapidez é
\bigl\lVert\sigma_2'(2)\bigr\rVert=\sqrt{(-4)^{2}+4^{2}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.

Passo 5

(d) A distância percorrida pelo primeiro pássaro de t=0 até t=2 é o comprimento de arco:
s=\int_{0}^{2}\bigl\lVert\sigma_1'(t)\bigr\rVert\,dt=\int_{0}^{2}\sqrt{1+(2t)^{2}}\,dt=\int_{0}^{2}\sqrt{1+4t^{2}}\,dt.
Explico como calcular essa integral: uma primitiva conhecida é
\int \sqrt{1+4t^{2}}\,dt=\frac{t}{2}\sqrt{1+4t^{2}}+\frac{1}{4}\ln\!\bigl(2t+\sqrt{1+4t^{2}}\bigr)+C.
(Esse resultado vem de técnicas padrão: substituição trigonométrica ou do uso da função \operatorname{arsinh}; note que \operatorname{arsinh}(x)=\ln(x+\sqrt{1+x^{2}}).)
Aplicando os limites:
s=\left[\frac{t}{2}\sqrt{1+4t^{2}}+\frac{1}{4}\ln\!\bigl(2t+\sqrt{1+4t^{2}}\bigr)\right]_{0}^{2}.
No superior t=2 obtemos \frac{2}{2}\sqrt{1+16}=\sqrt{17} e \frac{1}{4}\ln(4+\sqrt{17}). No inferior t=0 ambos termos valem zero (pois \ln(0+1)=0). Então
s=\sqrt{17}+\frac{1}{4}\ln\!\bigl(4+\sqrt{17}\bigr).
Se quiser uma aproximação decimal,
s\approx 4,1231 + 0,3551 \approx 4,4782
(usando vírgula como separador decimal: s\approx 4,4782 unidades de comprimento, assumindo que t está em horas e as unidades espaciais são compatíveis).

Resposta

(a) Eles nunca se chocam; não existe t\ge 0 com \sigma_1(t)=\sigma_2(t).
(b) Trajetória de \sigma_1: y=2+(x-1)^{2},\\ z=3 (parábola com vértice em (1,2,3)); trajetória de \sigma_2: y=2-x,\\ z=3 (reta de inclinação -1). As curvas não se cruzam (sem ponto de interseção real).
(c) \sigma_1'(2)=(1,4,0) com rapidez \sqrt{17}. \sigma_2'(2)=(-4,4,0) com rapidez 4\sqrt{2}.
(d) Distância percorrida pelo primeiro pássaro de t=0 a t=2:
s=\sqrt{17}+\frac{1}{4}\ln\!\bigl(4+\sqrt{17}\bigr)\approx 4,4782.

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