Dois pássaros voam segundo os seguintes vetores posição:
\sigma_{1}(t)=\left(1+t, 2+t^{2}, 3\right) \quad \text { e } \quad \sigma_{2}(t)=\left(1-t^{2}, 1+t^{2}, 3\right), \quad t \geq 0
(a) Mostre que eles nunca se chocarão.
(b) Esboce os caminhos sobre os quais os pássaros se movem. Determine, caso exista, o ponto no qual estes caminhos se cruzam.
(c) Calcule as velocidades dos pássaros no instante t=2.
(d) Se o primeiro pássaro parte do ponto (1,2,3), determine a distância percorrida por ele após duas horas.
Passo 1
O enunciado dá as trajetórias paramétricas dos dois pássaros para t\ge 0:
As perguntas são:
(a) Mostrar se eles alguma vez colidem (isto é, ocupam o mesmo ponto ao mesmo instante t).
(b) Esboçar os caminhos (as curvas no espaço/planos) e, caso exista, determinar o ponto de interseção dos caminhos.
(c) Calcular as velocidades dos pássaros no instante t=2.
(d) Supondo que o primeiro pássaro parte de (1,2,3), determinar a distância percorrida por ele após duas horas (distância ao longo da curva de t=0 a t=2).
Passo 2
(a) Para haver colisão os vetores posição de ambos devem ser iguais ao mesmo t. Assim precisamos resolver
\sigma_1(t)=\sigma_2(t),
isto é, as três igualdades coordenada a coordenada:
O discriminante é \Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot1=1-4=-3<0. Portanto não há solução real para x: as curvas não se intersectam em nenhum ponto real.
Sobre a orientação (sentido do movimento): para \sigma_1 temos x=1+t que cresce com t, e y=2+t^{2} cresce com |t| (aqui para t\ge0 também cresce). Logo o primeiro pássaro vai da esquerda para a direita com y aumentando (sobe pela parábola a partir do vértice em t=0). Para \sigma_2: x=1-t^{2} diminui quando t aumenta e y=1+t^{2} aumenta; ou seja, o segundo pássaro desloca-se para a esquerda e para cima ao aumentar t.
Descrição do esboço: a parábola tem vértice em (1,2,3) e abre para cima no plano z=3; a reta tem inclinação -1 (passa por (0,2,3) e por (1,1,3)), e as duas curvas ficam em níveis diferentes de y em todos os pontos, portanto não se cruzam.
Passo 4
(c) A velocidade é a derivada do vetor posição em relação a t: \mathbf{v}(t)=\sigma'(t). Derivo componente a componente.
(Esse resultado vem de técnicas padrão: substituição trigonométrica ou do uso da função \operatorname{arsinh}; note que \operatorname{arsinh}(x)=\ln(x+\sqrt{1+x^{2}}).)
No superior t=2 obtemos \frac{2}{2}\sqrt{1+16}=\sqrt{17} e \frac{1}{4}\ln(4+\sqrt{17}). No inferior t=0 ambos termos valem zero (pois \ln(0+1)=0). Então
(usando vírgula como separador decimal: s\approx 4,4782 unidades de comprimento, assumindo que t está em horas e as unidades espaciais são compatíveis).
Resposta
(a) Eles nunca se chocam; não existe t\ge 0 com \sigma_1(t)=\sigma_2(t).
(b) Trajetória de \sigma_1: y=2+(x-1)^{2},\\ z=3 (parábola com vértice em (1,2,3)); trajetória de \sigma_2: y=2-x,\\ z=3 (reta de inclinação -1). As curvas não se cruzam (sem ponto de interseção real).
(c) \sigma_1'(2)=(1,4,0) com rapidez \sqrt{17}. \sigma_2'(2)=(-4,4,0) com rapidez 4\sqrt{2}.
(d) Distância percorrida pelo primeiro pássaro de t=0 a t=2: