Calcule o limite da sequência.
an=ln (ln n)raizn

Passo 1

A sequência dada é an = ln(ln n)raizn. O conteúdo envolve limites de sequência, e vamos usar a ideia de comparação de crescimento de funções (logs versus raízes) e a regra de l’Hôpital para resolver.

Passo 2

Para aplicar a regra de l’Hôpital, estendemos a sequência a uma função de variável contínua:
f(x)=ln(ln x)raizx, xtoinfty
Note que tanto o numerador quanto o denominador tendem a infty, caracterizando uma indeterminação infty/infty.

Passo 3

Calculamos as derivadas necessárias para a regra de l’Hôpital:
Derivada do numerador: ddx[ln(ln x)] = 1xln x.
Derivada do denominador: ddx[raizx] = 12raizx.
Aplicando a regra:
limxtoinftyln(ln x)raizx =limxtoinfty1/(xln x)1/(2raizx) =limxtoinfty2raizxxln x =limxtoinfty2raizx,ln x

Passo 4

Observando que raizx,ln xtoinfty quando xtoinfty, concluímos que
limxtoinfty2raizx,ln x=0
Portanto, o limite da sequência an também é 0.

Resposta

0

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