Passe para coordenadas polares e calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
utilizando coordenadas polares. Vamos precisar:
– identificar geometricamente a região de integração em ,
– usar a mudança de variável
– identificar geometricamente a região de integração em
– usar a mudança de variável
Passo 2
Vamos descrever a região
em cartesianas. O
varia de
a
e, para cada
,
Isso é o semicírculo de raio
centrado em
para
. Em coordenadas polares, a equação do círculo centrado em
é
Além disso
implica
e, para ter
e
, obtemos
Passo 3
Em polares, o integrando
vira
e
. Logo a integral fica
Passo 4
Calculemos primeiro em
:
Substituindo, a integral reduz-se a
Passo 5
Para integrar em
use a substituição
,
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Então