Passe para coordenadas polares e calcule:
integral0^1 integral1-raiz1-x^2^1+raiz1-x^2 x y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1integral1-raiz1-x^2^1+raiz1-x^2x,y,dy,dx
utilizando coordenadas polares. Vamos precisar:
– identificar geometricamente a região de integração em xy,
– usar a mudança de variável
x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta

Passo 2

Vamos descrever a região D em cartesianas. O x varia de 0 a 1 e, para cada x,
yinl[,1-raiz1-x^2,,,1+raiz1-x^2r]
Isso é o semicírculo de raio 1 centrado em (0,1) para x>=0. Em coordenadas polares, a equação do círculo centrado em (0,1) é
(x)^2+(y-1)^2<=1 ;Longrightarrow; r^2-2rsintheta<=0 ;Longrightarrow; 0<= r<=2sintheta
Além disso x>=0 implica costheta>=0 e, para ter r>=0 e 2sintheta>=0, obtemos
0<=theta<=pi2, 0<= r<=2sintheta

Passo 3

Em polares, o integrando x,y vira
x,y = (rcostheta),(rsintheta)=r^2costhetasintheta
e dA=r,dr,dtheta. Logo a integral fica
integraltheta=0^pi/2integralr=0^2sintheta r^2costhetasintheta;l(r,dr,dthetar) =integral0^pi/2integral0^2sintheta r^3costhetasintheta,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos primeiro em r:
integral0^2sinthetar^3,dr =[r^44]0^2sintheta =(2sintheta)^44 =4sin^4theta
Substituindo, a integral reduz-se a
integral0^pi/24sin^4theta;costhetasintheta,dtheta =integral0^pi/24sin^5thetacostheta,dtheta

Passo 5

Para integrar em theta use a substituição u=sintheta, du=costheta,dtheta. Quando theta vai de 0 a pi/2, u vai de 0 a 1. Então
integral0^pi/24sin^5thetacostheta,dtheta =4integral0^1u^5,du =4cdotu^66|0^1 =46 =23

Resposta

23

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