Passe para coordenadas polares e calcule:
9.3)
.
9.3)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
passando para coordenadas polares. O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas e vamos precisar: (a) escrever
,
, , © descrever a região em termos de
e (d) integrar primeiro em
(com substituição
).
Passo 2
Em coordenadas polares temos
e
. A integral vira
Precisamos caracterizar a região
:
-
dá ⇒ . -
dá ⇒ . -
dá ⇒ . -
dá .
Combinando,vai de a , e para cada o raio vai de até o menor entre e .
Passo 3
Para separar as duas situações note que
Logo dividimos
Passo 4
Agora integramos em
usando
, de modo que
. Temos
Passo 5
Substituindo nos dois trechos:
- Para
obtém-se o integrando
. - Para
fica , pois .
Portanto
Passo 6
Esse é o valor exato da integral após mudança para coordenadas polares e integração em
.