Passe para coordenadas polares e calcule:
9.3) integral0^1 integralx^raiz9-x^2 sin (x^2+y^2+1) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral I=integral0^1integralx^raiz9-x^2sinl(x^2+y^2+1r),dy,dx passando para coordenadas polares. O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas e vamos precisar: (a) escrever x=rcostheta, y=rsintheta, , © descrever a região em termos de b) usar (dA=dx,dy=r,dr,dtheta e (d) integrar primeiro em (r,theta) (com substituição r).

Passo 2

Em coordenadas polares temos x^2+y^2=r^2 e dA=r,dr,dtheta. A integral vira
I=integralintegralRsin(r^2+1),r,dr,dtheta
Precisamos caracterizar a região R:
  • x>=0 costheta>=0 thetain[-tfracpi2,tfracpi2].
  • y>= x rsintheta>= rcostheta theta>=tfracpi4.
  • x<=1 rcostheta<=1 r<=1/costheta.
  • x^2+y^2<=9 r<=3.
    Combinando, theta vai de pi/4 a pi/2, e para cada theta o raio vai de 0 até o menor entre 3 e 1/costheta.

Passo 3

Para separar as duas situações note que
1/costheta<=3;Long<=ftrightarrow;costheta>=1/3;Long<=ftrightarrow;theta<=arccos(1/3)=arctan(raiz8)
Logo dividimos
I=integraltheta=pi/4^arctan(raiz8)!integralr=0^1/costhetasin(r^2+1),r,dr,dtheta ;+ integraltheta=arctan(raiz8)^pi/2!integralr=0^3sin(r^2+1),r,dr,dtheta

Passo 4

Agora integramos em r usando u=r^2+1, de modo que du=2r,dr. Temos
integral0^Rsin(r^2+1),r,dr =12integralu(0)=1^u(R)=R^2+1sin(u),du =12l[-cos(u)r]1^R^2+1 =12l(cos1-cos(R^2+1)r)

Passo 5

Substituindo nos dois trechos:
  1. Para R=1/costheta obtém-se o integrando
    tfrac12(cos1-cos(1+sec^2theta)).
  2. Para R=3 fica tfrac12(cos1-cos10), pois 3^2+1=10.
    Portanto
I=12integralpi/4^arctan(raiz8)l[cos1-cos(1+sec^2theta)r]dtheta +12l(cos1-cos10r)l(tfracpi2-arctan(raiz8)r)

Passo 6

Esse é o valor exato da integral após mudança para coordenadas polares e integração em r.

Resposta

I=12integralpi/4^arctan(raiz8)l(cos1-cos(1+sec^2theta)r),dtheta;+ 12l(cos1-cos10r)l(pi2-arctan(raiz8)r)

Exercícios relacionados