Calcule a integral \iint_{R} x+2 y d A, onde R é o triângulo de vértices (0,3),(4,1) e (2,6) usando a transformação x=\frac{1}{2}(u-v), y=\frac{1}{4}(3 u+v+12) em R.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x+2y \, dA,
onde R é o triângulo de vértices (0,3), (4,1) e (2,6), usando a transformação
\text{transformação }T(u,v)=(x,y)\text{ dada por }x=\tfrac{1}{2}(u-v),\\ y=\tfrac{1}{4}(3u+v+12).
A tarefa é aplicar a mudança de variáveis para transformar a integral sobre R numa integral sobre uma região S no plano (u,v), calcular o Jacobiano, reescrever o integrando em termos de u,v, determinar os limites em (u,v) e então avaliar a integral.
Passo 2
Encontrar a inversa da transformação (útil para mapear os vértices e descrever S). Partimos de
v = u - 2x = \bigl(y + \tfrac{1}{2}x -3\bigr) - 2x = y - \tfrac{3}{2}x -3.
Portanto a inversa é
u = y + \tfrac{1}{2}x -3,\qquad v = y - \tfrac{3}{2}x -3.
Passo 3
Calcular a imagem dos vértices de R pelo mapeamento inverso (ou seja, encontrar os pontos (u,v) correspondentes a cada vértice), usando explicitamente os vértices dados no enunciado.
Para (x,y)=(0,3):
u = 3 + \tfrac{1}{2}\cdot 0 -3 = 0,\qquad v = 3 - \tfrac{3}{2}\cdot 0 -3 = 0.
Portanto a região S no plano (u,v) é o triângulo com vértices (0,0), (0,-8), (4,0).
Passo 4
Descrever S por limites integrais. A aresta entre (0,-8) e (4,0) é uma reta; achamos sua equação em termos de u. A reta passa por (0,-8) e (4,0), então sua inclinação é
m = \frac{0-(-8)}{4-0} = \frac{8}{4}=2.
Logo a equação é v = -8 + 2u. Observando o triângulo, para cada u entre 0 e 4 o valor de v varia de v_{\min}=-8+2u até v_{\max}=0. Assim podemos escrever S como
0\le u\le 4,\qquad -8+2u \le v \le 0.
Passo 5
Calcular o Jacobiano da transformação direta T(u,v)=(x,y). O Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais
O valor absoluto do Jacobiano (que entra na fórmula de mudança de variáveis) é \bigl|J\bigr|=\tfrac{1}{2}.
Observação rápida e didática: o Jacobiano mede a razão de áreas locais entre os planos (u,v) e (x,y). Ao mudar variáveis numa integral dupla multiplicamos pelo fator \bigl|J\bigr|.]
Passo 6
Reescrever o integrando x+2y em termos de u,v substituindo as expressões dadas: