Calcule a integral \iint_{R} x+2 y d A, onde R é o triângulo de vértices (0,3),(4,1) e (2,6) usando a transformação x=\frac{1}{2}(u-v), y=\frac{1}{4}(3 u+v+12) em R.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x+2y \, dA,
onde R é o triângulo de vértices (0,3), (4,1) e (2,6), usando a transformação
x=\tfrac{1}{2}(u-v),\qquad y=\tfrac{1}{4}(3u+v+12).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{vértices de }R:\\ (0,3),\\ (4,1),\\ (2,6),é
\text{transformação }T(u,v)=(x,y)\text{ dada por }x=\tfrac{1}{2}(u-v),\\ y=\tfrac{1}{4}(3u+v+12).çã
A tarefa é aplicar a mudança de variáveis para transformar a integral sobre R numa integral sobre uma região S no plano (u,v), calcular o Jacobiano, reescrever o integrando em termos de u,v, determinar os limites em (u,v) e então avaliar a integral.

Passo 2

Encontrar a inversa da transformação (útil para mapear os vértices e descrever S). Partimos de
x=\tfrac{1}{2}(u-v)\quad\text{e}\quad y=\tfrac{1}{4}(3u+v+12).
Multiplicando as equações por constantes para simplificar:
u-v=2x \quad\text{(1)}
3u+v+12=4y \quad\text{(2)}
Somando (1) e (2) elimina v:
(u-v) + (3u+v+12) = 2x + 4y \implies 4u +12 = 2x + 4y.
Assim
u = y + \tfrac{1}{2}x -3.
Voltando a (1) para obter v:
v = u - 2x = \bigl(y + \tfrac{1}{2}x -3\bigr) - 2x = y - \tfrac{3}{2}x -3.
Portanto a inversa é
u = y + \tfrac{1}{2}x -3,\qquad v = y - \tfrac{3}{2}x -3.

Passo 3

Calcular a imagem dos vértices de R pelo mapeamento inverso (ou seja, encontrar os pontos (u,v) correspondentes a cada vértice), usando explicitamente os vértices dados no enunciado.
Para (x,y)=(0,3):
u = 3 + \tfrac{1}{2}\cdot 0 -3 = 0,\qquad v = 3 - \tfrac{3}{2}\cdot 0 -3 = 0.
Logo mapeia para (u,v)=(0,0).
Para (x,y)=(4,1):
u = 1 + \tfrac{1}{2}\cdot 4 -3 = 0,\qquad v = 1 - \tfrac{3}{2}\cdot 4 -3 = 1 -6 -3 = -8.
Logo mapeia para (u,v)=(0,-8).
Para (x,y)=(2,6):
u = 6 + \tfrac{1}{2}\cdot 2 -3 = 6 +1 -3 =4,\qquad v = 6 - \tfrac{3}{2}\cdot 2 -3 = 6 -3 -3 =0.
Logo mapeia para (u,v)=(4,0).
Portanto a região S no plano (u,v) é o triângulo com vértices (0,0), (0,-8), (4,0).

Passo 4

Descrever S por limites integrais. A aresta entre (0,-8) e (4,0) é uma reta; achamos sua equação em termos de u. A reta passa por (0,-8) e (4,0), então sua inclinação é
m = \frac{0-(-8)}{4-0} = \frac{8}{4}=2.
Logo a equação é v = -8 + 2u. Observando o triângulo, para cada u entre 0 e 4 o valor de v varia de v_{\min}=-8+2u até v_{\max}=0. Assim podemos escrever S como
0\le u\le 4,\qquad -8+2u \le v \le 0.

Passo 5

Calcular o Jacobiano da transformação direta T(u,v)=(x,y). O Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais
J=\det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}.
Das fórmulas x=\tfrac{1}{2}(u-v) e y=\tfrac{1}{4}(3u+v+12) temos
\frac{\partial x}{\partial u}=\tfrac{1}{2},\quad \frac{\partial x}{\partial v}=-\tfrac{1}{2},
\frac{\partial y}{\partial u}=\tfrac{3}{4},\quad \frac{\partial y}{\partial v}=\tfrac{1}{4}.
Então
J=\det\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \\[4pt] \tfrac{3}{4} & \tfrac{1}{4}\end{pmatrix} = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{4} - (-\tfrac{1}{2})\cdot \tfrac{3}{4} = \tfrac{1}{8} + \tfrac{3}{8} = \tfrac{1}{2}.
O valor absoluto do Jacobiano (que entra na fórmula de mudança de variáveis) é \bigl|J\bigr|=\tfrac{1}{2}.
Observação rápida e didática: o Jacobiano mede a razão de áreas locais entre os planos (u,v) e (x,y). Ao mudar variáveis numa integral dupla multiplicamos pelo fator \bigl|J\bigr|.]

Passo 6

Reescrever o integrando x+2y em termos de u,v substituindo as expressões dadas:
x+2y = \tfrac{1}{2}(u-v) + 2\cdot \tfrac{1}{4}(3u+v+12).
Calcule passo a passo:
2\cdot \tfrac{1}{4}(3u+v+12)=\tfrac{1}{2}(3u+v+12).
Somando com \tfrac{1}{2}(u-v):
x+2y = \tfrac{1}{2}\bigl((u-v) + (3u+v+12)\bigr) = \tfrac{1}{2}(4u+12) = 2u+6.
Com isso o integrando multiplicado pelo Jacobiano fica
(x+2y)\,|J| = (2u+6)\cdot \tfrac{1}{2} = u+3.
Agora montamos a integral sobre S:
\iint_{R} (x+2y)\,dA = \iint_{S} (u+3)\, dA_{uv} = \int_{u=0}^{4} \int_{v=-8+2u}^{0} (u+3)\, dv\, du.
Avaliação da integral interna (em v):
\int_{v=-8+2u}^{0} (u+3)\, dv = (u+3)\bigl[ v \bigr]_{v=-8+2u}^{0} = (u+3)\bigl(0 - (-8+2u)\bigr) = (u+3)(8-2u).
Expandindo:
(u+3)(8-2u) = -2u^{2} + 2u + 24.
Agora integrar em u de 0 a 4:
\int_{0}^{4} \bigl(-2u^{2} + 2u + 24\bigr)\, du = \left[-\tfrac{2}{3}u^{3} + u^{2} + 24u \right]_{0}^{4}.
Avaliação em u=4:
-\tfrac{2}{3}\cdot 4^{3} + 4^{2} + 24\cdot 4 = -\tfrac{2}{3}\cdot 64 + 16 + 96 = -\tfrac{128}{3} + 112 = \tfrac{336-128}{3} = \tfrac{208}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{208}{3}

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