Passe as Equações Diferenciais Ordinárias para Função Transferência.
\ddot{y}+15 \dot{y}+6 y=3 \dot{u}+7 u

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial ordinária
\ddot{y}(t) + 15\,\dot{y}(t) + 6\,y(t) = 3\,\dot{u}(t) + 7\,u(t)
e pede para encontrar a função de transferência G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}. O conteúdo é transformada de Laplace de EDOs, assumindo condições iniciais nulas.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo, lembrando que para condições iniciais zeradas temos
\mathcal{L}\{\ddot{y}(t)\} = s^2 Y(s),\quad \mathcal{L}\{\dot{y}(t)\} = s\,Y(s),\quad \mathcal{L}\{y(t)\} = Y(s)
e de modo análogo para u(t). Logo, transformando a EDO:
s^2 Y(s) + 15\,s\,Y(s) + 6\,Y(s) = 3\,s\,U(s) + 7\,U(s).

Passo 3

Fatoramos Y(s) e U(s) em cada lado:
Y(s)\bigl(s^2 + 15\,s + 6\bigr) = U(s)\bigl(3\,s + 7\bigr).

Passo 4

Isolamos a razão Y(s)/U(s), que é justamente a função de transferência:
G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{3\,s + 7}{s^2 + 15\,s + 6}.

Resposta

G(s) = \frac{3\,s + 7}{s^2 + 15\,s + 6}.

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