Passe as Equações Diferenciais Ordinárias para Função Transferência.
5 \ddot{y}+9 \dot{y}+y=12, determine Y(s)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
5\,\ddot{y}(t) + 9\,\dot{y}(t) + y(t) = 12
e pede para obter Y(s), a transformada de Laplace de y(t). O conteúdo aqui é a aplicação da transformada de Laplace a derivadas, usando condições iniciais nulas (isto é, y(0)=0 e \dot y(0)=0), e também a transformada de uma entrada constante.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação, lembrando que, para condições iniciais nulas,
\mathcal{L}\{\ddot y(t)\} = s^2\,Y(s),\quad \mathcal{L}\{\dot y(t)\} = s\,Y(s),\quad \mathcal{L}\{y(t)\} = Y(s).
Logo,
\mathcal{L}\{5\,\ddot y + 9\,\dot y + y\} = 5\,s^2\,Y(s) + 9\,s\,Y(s) + 1\cdot Y(s).

Passo 3

Transformamos o lado direito, que é uma constante 12. Como 12 = 12\cdot 1(t),
\mathcal{L}\{12\} = 12\;\frac{1}{s}.

Passo 4

Igualamos as transformadas e resolvemos para Y(s):
5\,s^2\,Y(s) + 9\,s\,Y(s) + Y(s) = \frac{12}{s}.
Fatorando Y(s):
Y(s)\,\bigl(5s^2 + 9s + 1\bigr) = \frac{12}{s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{12}{s\,(5s^2 + 9s + 1)}.

Resposta

Y(s) = \frac{12}{s\,(5s^2 + 9s + 1)}.

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