Passe para a forma canônica usando as fórmulas ou complemento de quadrado. Determine o domínio e imagem.
f(x)=10+5 x-5 x^2

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática
f(x) = 10 + 5x - 5x^2
e pede (1) a forma canônica via complemento de quadrado, (2) o domínio e (3) a imagem.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão f(x)=ax^2+bx+c, temos
f(x) = -5x^2 + 5x + 10,
isto é, a=-5, b=5 e c=10.

Passo 3

Para completar o quadrado, fatoramos -5 em evidência:
f(x) = -5l(x^2 - x - 2r)
Agora escrevemos
x^2 - x - 2 = l(x^2 - x + tfrac14r) - tfrac14 - 2 = (x - tfrac12)^2 - tfrac94
Substituindo de volta:
f(x) = -5l((x - tfrac12)^2 - tfrac94r) = -5(x - tfrac12)^2 + 454
Logo, a forma canônica é
f(x) = -5,(x - tfrac12)^2 + 454

Passo 4

O domínio de qualquer polinômio de grau 2 é R.

Passo 5

Como a=-5<0, a parábola abre para baixo e atinge máximo igual ao valor do vértice, que é
ymax = 454
Portanto a imagem é
(-infty,;tfrac454]

Resposta

Forma canônica:
f(x) = -5,(x - tfrac12)^2 + 454
Domínio: R.
Imagem: (-infty,;45/4].

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