Passe para a forma canônica usando as fórmulas ou complemento de quadrado. Determine o domínio e imagem.
f(x)=-2 x^2+5 x-1

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática
f(x) = -2x^2 + 5x - 1
e pede para escrevê-la na forma canônica (isto é, na forma vértice) usando complemento de quadrado ou fórmulas do vértice. Em seguida, determinar domínio e imagem. Para isso vamos completar o quadrado fatorando primeiro o coeficiente de x^2.

Passo 2

Fatoramos -2 dos termos em x:
f(x) = -2l(x^2 - tfrac52xr) - 1
Agora vamos completar o quadrado dentro dos parênteses.

Passo 3

Dentro de x^2 - tfrac52x, o termo para completar é l(tfrac54r)^2=tfrac2516. Então escrevemos
x^2 - tfrac52x = l(x - tfrac54r)^2 - tfrac2516
Substituindo em f(x):
f(x) = -2l[l(x - tfrac54r)^2 - tfrac2516r] - 1

Passo 4

Distribuindo o -2 e somando constantes:
f(x) = -2l(x - tfrac54r)^2 + 2cdottfrac2516 - 1 = -2l(x - tfrac54r)^2 + tfrac258 - tfrac88 = -2l(x - tfrac54r)^2 + tfrac178
Essa é a forma canônica, com vértice em l(tfrac54,,tfrac178r) e concavidade voltada para baixo (coeficiente -2).

Passo 5

Para qualquer função quadrática não degenerada o domínio é todo o conjunto dos reais. Como o coeficiente de (x-tfrac54)^2 é negativo, o valor máximo de f é o valor do vértice, tfrac178, e não há valor mínimo:
Domínio: R
Imagem: (-infty,,tfrac178]

Resposta

Forma canônica:
f(x) = -2l(x - tfrac54r)^2 + tfrac178
Domínio: R
Imagem: (-infty,,tfrac178]

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