Calcule a integral.
(4) integral tg^4(x) sec ^3(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral tan^4(x),sec^3(x),dx
O conteúdo principal aqui é o de integrais de potências de funções trigonométricas, em particular de potências ímpares de sec x. Vamos usar a identidade
tan^2(x)=sec^2(x)-1
para reescrever a integral como soma de integrais de sec em potências, e depois aplicar a fórmula de redução
integral sec^n(x),dx =1n-1,sec^n-2(x)tan(x) +n-2n-1integral sec^n-2(x),dx

Passo 2

Use tan^4(x)=(tan^2(x))^2=(sec^2(x)-1)^2=sec^4(x)-2sec^2(x)+1. Então
integral tan^4(x)sec^3(x),dx =integrall(sec^4(x)-2sec^2(x)+1r)sec^3(x),dx =integral sec^7(x),dx -2integral sec^5(x),dx +integral sec^3(x),dx

Passo 3

Calcule A=integral sec^7(x),dx usando a fórmula de redução com n=7:
A =integral sec^7(x),dx =16,sec^5(x)tan(x) +56integral sec^5(x),dx

Passo 4

Calcule B=integral sec^5(x),dx aplicando a fórmula de redução com n=5:
B =integral sec^5(x),dx =14,sec^3(x)tan(x) +34integral sec^3(x),dx

Passo 5

Calcule C=integral sec^3(x),dx. É uma integral clássica que resulta em
C =integral sec^3(x),dx =12,sec(x)tan(x) +12lnl|sec(x)+tan(x)r| + ,C1

Passo 6

Agora volte em
integral tan^4(x)sec^3(x),dx =A-2B+C
Substituindo A, B e C:
A =16sec^5(x)tan(x) +56B, B =14sec^3(x)tan(x) +34C,
A-2B =16sec^5(x)tan(x) +56B -2l[14sec^3(x)tan(x)+34Cr] =16sec^5(x)tan(x) -724sec^3(x)tan(x) -78C
Então
A-2B+C =16sec^5(x)tan(x) -724sec^3(x)tan(x) -78C + C =16sec^5(x)tan(x) -724sec^3(x)tan(x) +18C

Passo 7

Por fim, substitua C:
18C =18l[12sec(x)tan(x) +12lnl|sec(x)+tan(x)r|r] =116sec(x)tan(x) +116lnl|sec(x)+tan(x)r|

Resposta

integral tan^4(x)sec^3(x),dx =16,sec^5(x)tan(x) -724,sec^3(x)tan(x) +116,sec(x)tan(x) +116,lnl|sec(x)+tan(x)r| + C

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