Passo 12: Transformando Vetores em Escalares. Faça o produto escalar da sua equação do Passo 10 por
. Usando as identidades matemáticas que conectam o produto escalar do gradiente com a diferencial total (ex:
), converta cada termo vetorial em um diferencial escalar. Dica:
se torna
.
Passo 1
O que o enunciado pede: fazer o produto escalar da equação do Passo 10 por
e transformar cada termo vetorial em um diferencial escalar, usando identidades como
e a dica
.\n
Informações dadas/assumidas (para podermos prosseguir sem o Passo 10 explícito): vou trabalhar com a forma usual da equação de movimento ao longo de uma linha de corrente, escrita por unidade de massa:
Informações dadas/assumidas (para podermos prosseguir sem o Passo 10 explícito): vou trabalhar com a forma usual da equação de movimento ao longo de uma linha de corrente, escrita por unidade de massa:
onde:
-
é o vetor velocidade (módulo e direção da corrente); -
é a densidade (assumo constante se não informado;
se não for constante, notarei onde muda); -
é a pressão (campo escalar); -
é a aceleração de corpo-de-força por unidade de massa (ex.: gravidade); -
é um deslocamento infinitesimal no campo de posições (escolhido tangente à linha de corrente, i.e., paralelo a ).\n
Observação importante: para usar a dica dada sem termos extras, assumimos queestá tangente à linha de corrente (paralelo a ); essa escolha faz com que certas parcelas vetoriais desapareçam quando fazemos o produto escalar.
Passo 2
Faço o produto escalar membro-a-membro da equação por
. Assim:
Aqui usei a linearidade do produto escalar:
.
Passo 3
Transformo o primeiro termo
em um diferencial escalar. Raciocínio passo a passo e intuição (isso é a “mágica” da dica):
- Defina a função escalar
. O diferencial total de em um deslocamento é . - Existe a identidade vetorial (útil e padrão):
- Se
é paralelo a (deslocamento ao longo da linha de corrente), então
porque
é ortogonal a
enquanto
é paralelo a
.
- Logo, ao fazer o produto escalar com
obtemos
Isto é exatamente a dica: o termo convectivo vira o diferencial de
quando avaliamos ao longo do deslocamento tangente à corrente.
Passo 4
Transformo o termo de pressão. Como
é um campo escalar, o diferencial total de
ao deslocar-se por
é
Portanto
Passo 5
Transformo o termo da força de corpo
. Existem duas situações típicas:
- Caso geral conservativo: se a força é conservativa existe um potencial escalar
tal que . Então
- Caso da gravidade uniforme (exemplo concreto):
(com para cima). Então, escrevendo ,
Nesse caso o potencial
escolhido é
(porque
), e a forma conservativa acima também dá
.
Passo 6
Junto tudo: usando os resultados dos passos anteriores, a igualdade do Passo 2 vira
Agora, se
(força conservativa), substituindo
obtemos
Reorganizando os diferenciais para mostrar uma quantidade conservada:
No caso concreto de gravidade uniforme (
) isso é
que é a forma diferencial da equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente (para fluido invíscido e fluxo estacionário, conforme as hipóteses usadas).