Passo 12: Transformando Vetores em Escalares. Faça o produto escalar da sua equação do Passo 10 por d \vec{s}. Usando as identidades matemáticas que conectam o produto escalar do gradiente com a diferencial total (ex: \nabla p \cdot d \vec{s}=d p ), converta cada termo vetorial em um diferencial escalar. Dica: (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \cdot d \vec{s} se torna d\left(v^{2} / 2\right).

Passo 1

O que o enunciado pede: fazer o produto escalar da equação do Passo 10 por d\vec{s} e transformar cada termo vetorial em um diferencial escalar, usando identidades como \nabla p\cdot d\vec{s}=dp e a dica (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}\cdot d\vec{s}=d\!\left(\tfrac{v^{2}}{2}\right).\n
Informações dadas/assumidas (para podermos prosseguir sem o Passo 10 explícito): vou trabalhar com a forma usual da equação de movimento ao longo de uma linha de corrente, escrita por unidade de massa:
(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \vec{g},
onde:
  • \vec{v} é o vetor velocidade (módulo v e direção da corrente);
  • \rho é a densidade (assumo constante se não informado;
    se não for constante, notarei onde muda);
  • p é a pressão (campo escalar);
  • \vec{g} é a aceleração de corpo-de-força por unidade de massa (ex.: gravidade);
  • d\vec{s} é um deslocamento infinitesimal no campo de posições (escolhido tangente à linha de corrente, i.e., paralelo a \vec{v}).\n
    Observação importante: para usar a dica dada sem termos extras, assumimos que d\vec{s} está tangente à linha de corrente (paralelo a \vec{v}); essa escolha faz com que certas parcelas vetoriais desapareçam quando fazemos o produto escalar.

Passo 2

Faço o produto escalar membro-a-membro da equação por d\vec{s}. Assim:
(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}\cdot d\vec{s} = -\frac{1}{\rho}\nabla p\cdot d\vec{s} + \vec{g}\cdot d\vec{s}.
Aqui usei a linearidade do produto escalar: (\mathbf{A}+\mathbf{B})\cdot\mathbf{C}=\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}+\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}.

Passo 3

Transformo o primeiro termo (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}\cdot d\vec{s} em um diferencial escalar. Raciocínio passo a passo e intuição (isso é a “mágica” da dica):
  • Defina a função escalar \varphi=\tfrac{1}{2}v^{2}=\tfrac{1}{2}\vec{v}\cdot\vec{v}. O diferencial total de \varphi em um deslocamento d\vec{s} é \;d\varphi=\nabla\varphi\cdot d\vec{s}.
  • Existe a identidade vetorial (útil e padrão):
(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = \nabla\!\left(\tfrac{1}{2}v^{2}\right) - \vec{v}\times(\nabla\times\vec{v}).
  • Se d\vec{s} é paralelo a \vec{v} (deslocamento ao longo da linha de corrente), então
\big(\vec{v}\times(\nabla\times\vec{v})\big)\cdot d\vec{s}=0,
porque \vec{v}\times(\nabla\times\vec{v}) é ortogonal a \vec{v} enquanto d\vec{s} é paralelo a \vec{v}.
  • Logo, ao fazer o produto escalar com d\vec{s} obtemos
(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}\cdot d\vec{s} = \nabla\!\left(\tfrac{1}{2}v^{2}\right)\cdot d\vec{s} = d\!\left(\tfrac{1}{2}v^{2}\right).
Isto é exatamente a dica: o termo convectivo vira o diferencial de \tfrac{v^{2}}{2} quando avaliamos ao longo do deslocamento tangente à corrente.

Passo 4

Transformo o termo de pressão. Como p é um campo escalar, o diferencial total de p ao deslocar-se por d\vec{s} é
d p = \nabla p\cdot d\vec{s}.
Portanto
-\frac{1}{\rho}\nabla p\cdot d\vec{s} = -\frac{1}{\rho}\, d p.

Passo 5

Transformo o termo da força de corpo \vec{g}\cdot d\vec{s}. Existem duas situações típicas:
  • Caso geral conservativo: se a força é conservativa existe um potencial escalar \Phi tal que \vec{g} = -\nabla\Phi. Então
\vec{g}\cdot d\vec{s} = -\nabla\Phi\cdot d\vec{s} = -d\Phi.
  • Caso da gravidade uniforme (exemplo concreto): \vec{g}=-g\hat{k} (com z para cima). Então, escrevendo d\vec{s}=dx\,\hat\imath+dy\,\hat\jmath+dz\,\hat{k},
\vec{g}\cdot d\vec{s} = -g\,dz.
Nesse caso o potencial \Phi escolhido é \Phi=g z (porque -\nabla(gz) = -g\hat{k} = \vec{g}), e a forma conservativa acima também dá -d\Phi = -d(gz) = -g\,dz.

Passo 6

Junto tudo: usando os resultados dos passos anteriores, a igualdade do Passo 2 vira
d\!\left(\tfrac{1}{2}v^{2}\right) = -\frac{1}{\rho}\,dp + \vec{g}\cdot d\vec{s}.
Agora, se \vec{g}=-\nabla\Phi (força conservativa), substituindo \vec{g}\cdot d\vec{s}=-d\Phi obtemos
d\!\left(\tfrac{1}{2}v^{2}\right) = -\frac{1}{\rho}\,dp - d\Phi.
Reorganizando os diferenciais para mostrar uma quantidade conservada:
d\!\left(\tfrac{1}{2}v^{2} + \frac{p}{\rho} + \Phi \right)=0.
No caso concreto de gravidade uniforme ( \Phi=gz) isso é
d\!\left(\tfrac{1}{2}v^{2} + \frac{p}{\rho} + g z \right)=0,
que é a forma diferencial da equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente (para fluido invíscido e fluxo estacionário, conforme as hipóteses usadas).

Resposta

d\!\left(\tfrac{1}{2}v^{2}\right) = -\frac{1}{\rho}\,dp + \vec{g}\cdot d\vec{s}
\text{Se }\vec{g}=-\nabla\Phi:\qquad d\!\left(\tfrac{1}{2}v^{2} + \frac{p}{\rho} + \Phi\right)=0
\text{Para gravidade uniforme }(\vec{g}=-g\hat{k}):\qquad d\!\left(\tfrac{1}{2}v^{2} + \frac{p}{\rho} + g z\right)=0

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