Passo 7: O Conceito de Estagnação (Princípio do Tubo de Pitot). Imagine uma partícula de fluido com pressão p_{1} e velocidade v_{1} em um escoamento horizontal. Ela é forçada a parar completamente ( v_{2}=0 ) em um “ponto de estagnação”.
a) Aplique a sua Equação de Bernoulli (Passo 4) a esta situação.
b) Deduza a fórmula para a pressão no ponto de estagnação, p_{2} (também chamada de p_{\text {estagnação }}çã ).

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula do fluido em um escoamento horizontal com as seguintes informações dadas:
  • pressão no ponto 1: \;p_{1};\n
  • velocidade no ponto 1: \;v_{1};\n
  • o ponto 2 é um ponto de estagnação, portanto \;v_{2}=0;\n
  • o escoamento é horizontal (logo as altitudes em 1 e 2 são iguais).\n
    Perguntas pedidas:
    a) Aplicar a Equação de Bernoulli do Passo 4 a esta situação entre os pontos 1 e 2.\n
    b) Deducir a fórmula da pressão no ponto de estagnação \;p_{2} (também chamada \;p_{\text{estagnação}}çã).

Passo 2

Recapitulando a Equação de Bernoulli (forma usual para escoamento incompressível, estacionário e sem atrito, ao longo de uma mesma linha de corrente):
p+\tfrac{1}{2}\rho v^{2}+\rho g z=\text{constante ao longo da linha de corrente}.
Explicando cada símbolo:
  • \;p é a pressão estática do fluido no ponto considerado;\n
  • \;\rho é a densidade do fluido (constante se o fluido for incompressível);\n
  • \;v é a velocidade do fluido naquele ponto;\n
  • \;g é a aceleração da gravidade;\n
  • \;z é a cota (altura) do ponto em relação a uma referência.\n
    Pressupostos importantes (em linguagem simples): fluxo estacionário significa que as grandezas não mudam com o tempo no ponto que seguimos; incompressível significa que \;\rho é constante; sem atrito (ideally) significa que não perdemos energia por viscosidade. Se algum desses pressupostos falhar (por exemplo, ar em velocidades muito altas, compressível), a forma precisa ser corrigida.

Passo 3

Aplicamos Bernoulli entre o ponto 1 e o ponto 2 (mesma linha de corrente). Escrevemos a equação para cada ponto e igualamos:
p_{1}+\tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2}+\rho g z_{1}=p_{2}+\tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2}+\rho g z_{2}.
Aqui escrevemos explicitamente as quantidades em 1 e 2 para depois simplificar usando os dados do enunciado.

Passo 4

Agora usamos as informações do enunciado para simplificar a equação:
  • o escoamento é horizontal, então \;z_{1}=z_{2}. Portanto os termos \rho g z_{1} e \rho g z_{2} são iguais e se cancelam quando subtraímos os dois lados;\n
  • no ponto de estagnação \;v_{2}=0, então \tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2}=0.\n
    Substituindo essas simplificações em \;p_{1}+\tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2}+\rho g z_{1}=p_{2}+\tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2}+\rho g z_{2} obtemos:
p_{1}+\tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2}=p_{2}+0.

Passo 5

Isolando \;p_{2} (a pressão no ponto de estagnação):
p_{2}=p_{1}+\tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2}.
Interpretação: a pressão no ponto de estagnação é a pressão estática \;p_{1} acrescida da chamada pressão dinâmica \;\tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2}. Em termos práticos isso é o que um tubo de Pitot mede: a soma da pressão estática e da pressão dinâmica = pressão de estagnação.

Passo 6

Observações didáticas e dicas para a prova:
  • Às vezes escrevem a pressão dinâmica como q=\tfrac{1}{2}\rho v^{2}. Então a fórmula fica \;p_{\text{estagnação}}=p+qçã.\n
  • Lembre-se de declarar as hipóteses (incompressível, sem atrito, estacionário) se o enunciado pedir justificativa; para velocidades de ar muito altas (Mach próximo de 1) a compressibilidade deve ser considerada e a fórmula muda.\n
  • Se precisar calcular numericamente, escolha unidades coerentes ( \rho em \mathrm{kg/m^{3}}, v em \mathrm{m/s}) e calcule \tfrac{1}{2}\rho v^{2} para obter a pressão em \mathrm{Pa}.\n
    Vai dar certo — pratique aplicando essa igualdade entre dois pontos em outros exercícios (por exemplo entre uma seção estreita e uma larga de um tubo).

Resposta

a) \;p_{1}+\tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2}=p_{2}+\tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2}.\n
b) \;p_{2}=p_{1}+\tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2}.

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