Passo 9: O Desafio Final - Calculando a Sustentação. Um avião voa em uma região onde a pressão e a velocidade do ar são p_{\infty} e v_{\infty}=60 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A densidade do ar é \rho=1.2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
a) Na parte de baixo da asa (intradorso), o ar desacelera ligeiramente para v_{i}=55 \mathrm{m} / \mathrm{s}. Use a sua Equação de Bernoulli para encontrar a pressão p_{i} em relação a p_{\infty}.
b) Na parte de cima da asa (extradorso), o ar acelera para v_{s}=75 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Use a sua Equação de Bernoulli para encontrar a pressão p_{s} em relação a p_{\infty}.
c) Calcule a diferença de pressão entre a parte de baixo e a de cima da asa, \Delta p= p_{i}-p_{s}.
d) Usando a fórmula que você derivou no Passo 8, calcule a força de sustentação por metro quadrado ( L / A ) na asa.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que já nos foi dado):
  • Dados: \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, v_{\infty}=60\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}, v_{i}=55\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} (intradorso), v_{s}=75\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} (extradorso).
  • Perguntas:
    a) Usando Bernoulli, encontrar a pressão \;p_{i} em relação a \;p_{\infty}.
    b) Usando Bernoulli, encontrar a pressão \;p_{s} em relação a \;p_{\infty}.
    c) Calcular a diferença de pressão \;\Delta p = p_{i}-p_{s}.
    d) Usando a fórmula do Passo 8, calcular a força de sustentação por metro quadrado \;L/A na asa.

Passo 2

Apresentando a Equação de Bernoulli e suas hipóteses (explicação didática):
A forma simples de Bernoulli (para escoamento incompressível, estacionário e sem perdas por viscosidade, aplicada ao longo de uma mesma linha de corrente) é
p+\frac{1}{2}\rho v^{2}=\text{constante}.
Aqui:
  • p é a pressão estática do fluido em um ponto (em Pa),
  • \rho é a densidade do fluido (em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3),
  • v é a velocidade do fluido naquele ponto (em \mathrm{m}/\mathrm{s}).
    Isso significa que, entre dois pontos 1 e 2 da mesma corrente,
p_{1}+\tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2}=p_{2}+\tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2}.
Vou aplicar isto entre o fluxo livre ( \infty) e cada ponto sobre a asa.

Passo 3

Cálculo de \;p_{i} (intradorso) em relação a \;p_{\infty}:
Aplicando Bernoulli entre o ponto do escoamento livre e o ponto intradorso:
p_{\infty}+\tfrac{1}{2}\rho v_{\infty}^{2}=p_{i}+\tfrac{1}{2}\rho v_{i}^{2}.
Isolando p_{i}:
p_{i}=p_{\infty}+\tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_{\infty}^{2}-v_{i}^{2}\bigr).
Agora substituímos os números passo a passo:
v_{\infty}^{2}=60^{2}=3600,\qquad v_{i}^{2}=55^{2}=3025.
Diferença:
v_{\infty}^{2}-v_{i}^{2}=3600-3025=575.
Fator \tfrac{1}{2}\rho:
\tfrac{1}{2}\rho=\tfrac{1}{2}\cdot 1{,}2=0{,}6.
Multiplicando:
\tfrac{1}{2}\rho\,(v_{\infty}^{2}-v_{i}^{2})=0{,}6\times 575=345\\ \mathrm{Pa}.
Portanto:
p_{i}=p_{\infty}+345\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Cálculo de \;p_{s} (extradorso) em relação a \;p_{\infty}:
Aplicando Bernoulli entre o escoamento livre e o extradorso:
p_{\infty}+\tfrac{1}{2}\rho v_{\infty}^{2}=p_{s}+\tfrac{1}{2}\rho v_{s}^{2},
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p_{s}=p_{\infty}+\tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_{\infty}^{2}-v_{s}^{2}\bigr).
Calculemos:
v_{s}^{2}=75^{2}=5625,
v_{\infty}^{2}-v_{s}^{2}=3600-5625=-2025,
\tfrac{1}{2}\rho\,(v_{\infty}^{2}-v_{s}^{2})=0{,}6\times(-2025)=-1215\\ \mathrm{Pa}.
Portanto:
p_{s}=p_{\infty}-1215\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Cálculo da diferença de pressão \Delta p = p_{i}-p_{s}:
Usando as expressões obtidas,
\Delta p = \bigl(p_{\infty}+345\bigr)-\bigl(p_{\infty}-1215\bigr)=345+1215=1560\\ \mathrm{Pa}.
Também vale a fórmula compacta (simplificando os termos de Bernoulli):
\Delta p = \tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_{s}^{2}-v_{i}^{2}\bigr).
Verificação rápida:
v_{s}^{2}-v_{i}^{2}=5625-3025=2600,\qquad 0{,}6\times 2600=1560\\ \mathrm{Pa},
mesmo resultado.

Passo 6

Cálculo da força de sustentação por unidade de área \;L/A usando a fórmula do Passo 8 e interpretação física:
A força resultante de sustentação por unidade de área é simplesmente a diferença de pressão entre baixo e cima da asa, ou seja
\frac{L}{A}=\Delta p.
Isto porque pressão (em Pa) é força por unidade de área ( \mathrm{N}/\mathrm{m}^2). Portanto
\frac{L}{A}=1560\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}.
Interpretação: cada metro quadrado da asa gera 1560\\ \mathrm{N} de sustentação (supondo que as velocidades dadas e as hipóteses de Bernoulli sejam válidas).

Resposta

a) p_{i}=p_{\infty}+345\\ \mathrm{Pa}
b) p_{s}=p_{\infty}-1215\\ \mathrm{Pa}
c) \Delta p=1560\\ \mathrm{Pa}
d) \dfrac{L}{A}=1560\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}

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