Passo 5: O Princípio da Continuidade (Conservação de Massa). Considere um fluido incompressível (
constante) escoando por um tubo que se estreita de uma área
para uma área
.
a) O princípio da conservação de massa afirma que a vazão mássica (
) deve ser a mesma em ambas as seções:
.
b) Lembre-se que
. Substitua esta expressão na igualdade acima.
c) Simplifique a equação para um fluido incompressível para derivar a Equação da Continuidade.
Passo 6: O Paradoxo do Venturi (Síntese de Duas Leis). Um Venturi horizontal estreita de
para
. A velocidade na entrada é
.
a) Use a sua Equação da Continuidade (Passo 5) para encontrar a velocidade
na garganta.
b) Agora, use a sua Equação de Bernoulli (Passo 4). O que acontece com os termos de energia potencial se o tubo é horizontal? Escreva a equação simplificada.
c) Substitua os valores de
e
na equação simplificada e encontre a relação entre
e
. A pressão na garganta aumenta ou diminui? Explique fisicamente por que isso ocorre, usando o conceito de conservação de energia.
a) O princípio da conservação de massa afirma que a vazão mássica (
b) Lembre-se que
c) Simplifique a equação para um fluido incompressível para derivar a Equação da Continuidade.
Passo 6: O Paradoxo do Venturi (Síntese de Duas Leis). Um Venturi horizontal estreita de
a) Use a sua Equação da Continuidade (Passo 5) para encontrar a velocidade
b) Agora, use a sua Equação de Bernoulli (Passo 4). O que acontece com os termos de energia potencial se o tubo é horizontal? Escreva a equação simplificada.
c) Substitua os valores de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas indicadas:
-
Informações dadas:
- Fluido incompressível, ou seja,
constante. - Vazão mássica é igual nas duas seções:
. - Relação geral:
. - No Venturi:
. - Velocidade de entrada:
.
- Fluido incompressível, ou seja,
-
Perguntas pedidas:
- (Passo 5) a) Substituir
em . b) Simplificar para o caso incompressível e obter a Equação da Continuidade. - (Passo 6) a) Usar a equação da continuidade para achar
na garganta. b) Escrever a equação de Bernoulli simplificada para tubo horizontal (o que ocorre com os termos de energia potencial?). c) Substituir e e relacionar e ; dizer se a pressão aumenta ou diminui e explicar fisicamente usando conservação de energia.
- (Passo 5) a) Substituir
Passo 2
Aula rápida e bem passo a passo sobre vazão mássica e continuidade.
- Definição: a vazão mássica
é a massa que atravessa uma seção por unidade de tempo, medida em . - Fórmula: a massa que passa por uma seção de área
em tempo é densidade vezes volume, e em termos de velocidade média temos
Expliquei: aqui
é a densidade do fluido (em
),
é a área da seção (
) e
é a velocidade média do fluido nessa seção (
). O produto
tem unidade
, como queremos.
- Princípio da conservação de massa: para escoamento estacionário sem acumulação, a massa que entra por segundo em uma região é a mesma que sai. Isso dá
.
Passo 3
Substituição pedida (Passo 5a) — colocar a fórmula de
na igualdade.
Começamos de
Substituindo
em cada lado obtemos
Expliquei cada termo:
são área e velocidade na seção 1;
na seção 2;
é a mesma densidade em ambas porque o fluido é incompressível.
Passo 4
Simplificação para fluido incompressível — derivando a Equação da Continuidade (Passo 5c).
Como
é constante e aparece multiplicando ambos os lados, podemos dividir por
sem problema:
Esta é a Equação da Continuidade para fluido incompressível: a área vezes a velocidade permanece constante ao longo do tubo. Interpretação prática: se a área diminui, a velocidade aumenta proporcionalmente para manter a mesma vazão mássica. Exemplo rápido: se
diminui pela metade,
dobra.
Passo 5
Aplicação ao Venturi — encontrar
(Passo 6a).
Usamos a continuidade
. Dado
, substituímos:
Dividindo ambos os lados por
(ou isolando
):
Como
, obtemos
Passo 6
Bernoulli e simplificação para tubo horizontal (Passo 6b).
- Enunciado da Equação de Bernoulli (forma em termos de energia por unidade de volume):
Aqui
é pressão (Pa),
é a energia cinética por unidade de volume (às vezes chamado “head” cinético multiplicado por
), e
é a energia potencial gravitacional por unidade de volume (com
a altura e
a gravidade).
- Se o tubo é horizontal, então
e os termos se cancelam entre as seções. Assim a equação simplificada entre as seções 1 e 2 fica:
Esta é a forma que vamos usar.
Passo 7
Substituição numérica e interpretação física (Passo 6c).
- Isolando
da equação de Bernoulli:
- Substituindo
e :
logo
Portanto
Em unidades SI, se
estiver em
então o termo
tem unidades de Pascal. Por exemplo, para água (aprox.
) teríamos
.
- Interpretação física (por conservação de energia): ao estreitar o tubo a velocidade aumenta (conservação de massa). Como a soma de energia de pressão e energia cinética por unidade de volume deve permanecer constante (Bernoulli), o aumento da energia cinética (
) é compensado por uma diminuição da energia de pressão ( ). Assim a pressão na garganta diminui. Físicamente: parte da energia disponível em forma de pressão é convertida em energia cinética para acelerar o fluido, por isso a pressão cai na região de maior velocidade.