Passo 5: O Princípio da Continuidade (Conservação de Massa). Considere um fluido incompressível ( \rho= constante) escoando por um tubo que se estreita de uma área A_{1} para uma área A_{2}.
a) O princípio da conservação de massa afirma que a vazão mássica ( \dot{m}, \mathrm{em} \mathrm{kg} / \mathrm{s} ) deve ser a mesma em ambas as seções: \dot{m}_{1}=\dot{m}_{2}.
b) Lembre-se que \dot{m}=\rho A v. Substitua esta expressão na igualdade acima.
c) Simplifique a equação para um fluido incompressível para derivar a Equação da Continuidade.
Passo 6: O Paradoxo do Venturi (Síntese de Duas Leis). Um Venturi horizontal estreita de A_{1} para A_{2}=A_{1} / 4. A velocidade na entrada é v_{1}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
a) Use a sua Equação da Continuidade (Passo 5) para encontrar a velocidade v_{2} na garganta.
b) Agora, use a sua Equação de Bernoulli (Passo 4). O que acontece com os termos de energia potencial se o tubo é horizontal? Escreva a equação simplificada.
c) Substitua os valores de v_{1} e v_{2} na equação simplificada e encontre a relação entre p_{1} e p_{2}. A pressão na garganta aumenta ou diminui? Explique fisicamente por que isso ocorre, usando o conceito de conservação de energia.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas indicadas:
  • Informações dadas:
    • Fluido incompressível, ou seja, \rho= constante.
    • Vazão mássica é igual nas duas seções: \dot{m}_1 = \dot{m}_2.
    • Relação geral: \dot{m} = \rho A v.
    • No Venturi: A_2 = A_1/4.
    • Velocidade de entrada: v_1 = 2\\ \mathrm{m/s}.
  • Perguntas pedidas:
    1. (Passo 5) a) Substituir \dot{m}=\rho A v em \dot{m}_1=\dot{m}_2. b) Simplificar para o caso incompressível e obter a Equação da Continuidade.
    2. (Passo 6) a) Usar a equação da continuidade para achar v_2 na garganta. b) Escrever a equação de Bernoulli simplificada para tubo horizontal (o que ocorre com os termos de energia potencial?). c) Substituir v_1 e v_2 e relacionar p_1 e p_2; dizer se a pressão aumenta ou diminui e explicar fisicamente usando conservação de energia.

Passo 2

Aula rápida e bem passo a passo sobre vazão mássica e continuidade.
  • Definição: a vazão mássica \dot{m} é a massa que atravessa uma seção por unidade de tempo, medida em \mathrm{kg/s}.
  • Fórmula: a massa que passa por uma seção de área A em tempo t é densidade vezes volume, e em termos de velocidade média v temos
\dot{m}=\rho A v.
Expliquei: aqui \rho é a densidade do fluido (em \mathrm{kg/m^3}), A é a área da seção ( \mathrm{m^2}) e v é a velocidade média do fluido nessa seção ( \mathrm{m/s}). O produto \rho A v tem unidade \mathrm{kg/s}, como queremos.
  • Princípio da conservação de massa: para escoamento estacionário sem acumulação, a massa que entra por segundo em uma região é a mesma que sai. Isso dá \dot{m}_1=\dot{m}_2.

Passo 3

Substituição pedida (Passo 5a) — colocar a fórmula de \dot{m} na igualdade.
Começamos de
\dot{m}_1 = \dot{m}_2.
Substituindo \dot{m}=\rho A v em cada lado obtemos
\rho A_1 v_1 = \rho A_2 v_2.
Expliquei cada termo: A_1,v_1 são área e velocidade na seção 1; A_2,v_2 na seção 2; \rho é a mesma densidade em ambas porque o fluido é incompressível.

Passo 4

Simplificação para fluido incompressível — derivando a Equação da Continuidade (Passo 5c).
Como \rho é constante e aparece multiplicando ambos os lados, podemos dividir por \rho sem problema:
A_1 v_1 = A_2 v_2.
Esta é a Equação da Continuidade para fluido incompressível: a área vezes a velocidade permanece constante ao longo do tubo. Interpretação prática: se a área diminui, a velocidade aumenta proporcionalmente para manter a mesma vazão mássica. Exemplo rápido: se A diminui pela metade, v dobra.

Passo 5

Aplicação ao Venturi — encontrar v_2 (Passo 6a).
Usamos a continuidade A_1 v_1 = A_2 v_2. Dado A_2 = A_1/4, substituímos:
A_1 v_1 = \frac{A_1}{4} v_2.
Dividindo ambos os lados por A_1/4 (ou isolando v_2):
v_2 = \frac{A_1}{A_2} v_1 = \frac{A_1}{A_1/4} v_1 = 4 v_1.
Como v_1 = 2\\ \mathrm{m/s}, obtemos
v_2 = 4 \times 2\\ \mathrm{m/s} = 8\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Bernoulli e simplificação para tubo horizontal (Passo 6b).
  • Enunciado da Equação de Bernoulli (forma em termos de energia por unidade de volume):
p + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{constante ao longo da linha de corrente.}
Aqui p é pressão (Pa), \tfrac{1}{2}\rho v^2 é a energia cinética por unidade de volume (às vezes chamado “head” cinético multiplicado por \rho), e \rho g z é a energia potencial gravitacional por unidade de volume (com z a altura e g a gravidade).
  • Se o tubo é horizontal, então z_1 = z_2 e os termos \rho g z se cancelam entre as seções. Assim a equação simplificada entre as seções 1 e 2 fica:
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2.
Esta é a forma que vamos usar.

Passo 7

Substituição numérica e interpretação física (Passo 6c).
  • Isolando p_2 da equação de Bernoulli:
p_2 = p_1 + \tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_1^2 - v_2^2\bigr).
  • Substituindo v_1=2\\ \mathrm{m/s} e v_2=8\\ \mathrm{m/s}:
v_1^2 = 4,\qquad v_2^2 = 64,
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\tfrac{1}{2}\bigl(v_1^2 - v_2^2\bigr) = \tfrac{1}{2}(4-64) = \tfrac{1}{2}(-60) = -30.
Portanto
p_2 = p_1 - 30\,\rho.
Em unidades SI, se \rho estiver em \mathrm{kg/m^3} então o termo 30\rho tem unidades de Pascal. Por exemplo, para água (aprox. \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}) teríamos p_2 = p_1 - 30{,}000\\ \mathrm{Pa}.
  • Interpretação física (por conservação de energia): ao estreitar o tubo a velocidade aumenta (conservação de massa). Como a soma de energia de pressão e energia cinética por unidade de volume deve permanecer constante (Bernoulli), o aumento da energia cinética ( \tfrac{1}{2}\rho v^2) é compensado por uma diminuição da energia de pressão ( p). Assim a pressão na garganta diminui. Físicamente: parte da energia disponível em forma de pressão é convertida em energia cinética para acelerar o fluido, por isso a pressão cai na região de maior velocidade.

Resposta

A_1 v_1 = A_2 v_2.\n
v_2 = 8\\ \mathrm{m/s}.\n
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2.\n
p_2 = p_1 + \tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = p_1 - 30\,\rho, portanto a pressão na garganta diminui (é menor que p_1).

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