Passo 4: O Postulado da Conservação (A Hipótese de Bernoulli). Daniel Bernoulli postulou que, para um escoamento ideal (sem atrito ou outras perdas), a densidade de energia total de uma partícula de fluido permanece constante ao longo de sua trajetória.
a) Usando suas descobertas dos passos 1 , 2 e 3 , escreva a equação matemática que representa este postulado.
a) Usando suas descobertas dos passos 1 , 2 e 3 , escreva a equação matemática que representa este postulado.
Passo 1
O que o enunciado pede: escrever a equação matemática que expressa o postulado de Bernoulli (conservação da energia para um escoamento ideal), usando as descobertas dos passos 1, 2 e 3.
Informações relevantes (assumidas como já obtidas nos passos anteriores):
Informações relevantes (assumidas como já obtidas nos passos anteriores):
- Temos expressões para o trabalho exercido pela pressão sobre um elemento de fluido, para a variação da energia cinética e para a variação da energia potencial gravitacional desse elemento.
- Vamos trabalhar com um pequeno volume de fluido
e densidade . - O escoamento é ideal (sem atrito), estacionário e considerado incompressível (ou densidade constante ao longo do trajeto).
Passo 2
Recordando (como se teria deduzido nos passos 1–3) as expressões por unidade de volume do elemento
:
- Trabalho realizado pela pressão quando o fluido passa do ponto 1 para o ponto 2:
. Aqui é a pressão (em Pa). - Energia cinética do volume
: , onde é a velocidade do fluido. - Energia potencial gravitacional do volume
: , onde é a aceleração da gravidade e a cota vertical.
Essas expressões correspondem ao conteúdo físico: pressão faz trabalho sobre o elemento, e isso altera sua energia cinética e potencial.
Passo 3
Aplicando conservação da energia para o elemento que se desloca do ponto 1 para o ponto 2 (trabalho das pressões = variação total de energia do elemento):
Fatorando
e reorganizando:
Rearranjando para colocar todos os termos de um mesmo lado e reconhecendo que isso vale para quaisquer pontos ao longo da mesma linha de corrente, obtemos a forma conservada:
Passo 4
A forma clássica da equação de Bernoulli (por unidade de volume) aparece então como constante ao longo de uma linha de corrente:
Se quisermos escrever por unidade de massa, dividimos toda a expressão por
e obtemos a forma equivalente:
Passo 5
Significado dos termos (para você lembrar na prova):
-
é a pressão (energia por unidade de volume). -
é a energia cinética por unidade de volume. -
é a energia potencial gravitacional por unidade de volume.
Assunções necessárias para usar essa fórmula na prova: fluido ideal (sem viscosidade), escoamento estacionário, incompressível (ou densidade constante ao longo das linhas de corrente) e sem adição/remoção de energia por bombas ou turbinas ao longo do trecho considerado. Essas hipóteses garantem a conservação mecânica expressa na equação de Bernoulli.