Passo 4: O Postulado da Conservação (A Hipótese de Bernoulli). Daniel Bernoulli postulou que, para um escoamento ideal (sem atrito ou outras perdas), a densidade de energia total de uma partícula de fluido permanece constante ao longo de sua trajetória.
a) Usando suas descobertas dos passos 1 , 2 e 3 , escreva a equação matemática que representa este postulado.

Passo 1

O que o enunciado pede: escrever a equação matemática que expressa o postulado de Bernoulli (conservação da energia para um escoamento ideal), usando as descobertas dos passos 1, 2 e 3.
Informações relevantes (assumidas como já obtidas nos passos anteriores):
  • Temos expressões para o trabalho exercido pela pressão sobre um elemento de fluido, para a variação da energia cinética e para a variação da energia potencial gravitacional desse elemento.
  • Vamos trabalhar com um pequeno volume de fluido \Delta V e densidade \rho.
  • O escoamento é ideal (sem atrito), estacionário e considerado incompressível (ou densidade constante ao longo do trajeto).

Passo 2

Recordando (como se teria deduzido nos passos 1–3) as expressões por unidade de volume do elemento \Delta V:
  • Trabalho realizado pela pressão quando o fluido passa do ponto 1 para o ponto 2: p_{1}\Delta V - p_{2}\Delta V. Aqui p é a pressão (em Pa).
  • Energia cinética do volume \Delta V: \tfrac{1}{2}\rho v^{2}\Delta V, onde v é a velocidade do fluido.
  • Energia potencial gravitacional do volume \Delta V: \rho g z \Delta V, onde g é a aceleração da gravidade e z a cota vertical.
    Essas expressões correspondem ao conteúdo físico: pressão faz trabalho sobre o elemento, e isso altera sua energia cinética e potencial.

Passo 3

Aplicando conservação da energia para o elemento que se desloca do ponto 1 para o ponto 2 (trabalho das pressões = variação total de energia do elemento):
p_{1}\Delta V - p_{2}\Delta V \;=\; \Big(\tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2}\Delta V + \rho g z_{2}\Delta V\Big) - \Big(\tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2}\Delta V + \rho g z_{1}\Delta V\Big).
Fatorando \Delta V e reorganizando:
p_{1} - p_{2} \;=\; \tfrac{1}{2}\rho(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}) + \rho g (z_{2}-z_{1}).
Rearranjando para colocar todos os termos de um mesmo lado e reconhecendo que isso vale para quaisquer pontos ao longo da mesma linha de corrente, obtemos a forma conservada:

Passo 4

A forma clássica da equação de Bernoulli (por unidade de volume) aparece então como constante ao longo de uma linha de corrente:
p + \tfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g z = \text{const.}
Se quisermos escrever por unidade de massa, dividimos toda a expressão por \rho e obtemos a forma equivalente:
\frac{p}{\rho} + \tfrac{1}{2}v^{2} + g z = \text{const.}

Passo 5

Significado dos termos (para você lembrar na prova):
  • \;p\; é a pressão (energia por unidade de volume).
  • \;\tfrac{1}{2}\rho v^{2}\; é a energia cinética por unidade de volume.
  • \;\rho g z\; é a energia potencial gravitacional por unidade de volume.
    Assunções necessárias para usar essa fórmula na prova: fluido ideal (sem viscosidade), escoamento estacionário, incompressível (ou densidade constante ao longo das linhas de corrente) e sem adição/remoção de energia por bombas ou turbinas ao longo do trecho considerado. Essas hipóteses garantem a conservação mecânica expressa na equação de Bernoulli.

Resposta

p + \tfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g z = \text{const.}
\frac{p}{\rho} + \tfrac{1}{2}v^{2} + g z = \text{const.}

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