y-x d yd x=x^2
Passo 1: Identificar P, Q, e R :
P=-x, Q=1, R=x^2
Passo 2: Resolver as características:
d x-x=d y1=d ux^2
  1. Da primeira relação:
d x-x=d y1 Rightarrow ln |x|=-y+c1
  1. Da segunda relação:
d x-x=d ux^2 Rightarrow 1x=u+c2
Passo 3: Combinar as soluções:
A solução geral da equação diferencial é dada por:
F(ln |x|+y, 1x-u)=0

Passo 1

Temos uma equação diferencial de primeira ordem dada por
y - xdydx = x^2
Esse tipo de equação é linear em y e podemos resolvê-la usando fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos pôr a equação na forma padrão y' + P(x)y = Q(x). Começamos reescrevendo:
y - xdydx = x^2 Longrightarrow -xdydx + y = x^2
Dividindo tudo por -x (assumindo xneq0) obtemos
dydx - 1xy = -x
Aqui P(x) = -tfrac1x e Q(x) = -x.

Passo 3

Agora usamos o fator integrante
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral -tfrac1x,dx = e^-ln|x| = 1x
Esse fator integrante vai transformar a equação num total diferencial.

Passo 4

Multiplicando a equação original (na forma padrão) por mu(x)=1/x, temos
1xdydx - 1x^2y = -1
E reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de y/x:
l(yxr)' = -1

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral l(yxr)'dx = integral -1,dx
Isso dá
yx = -x + C,
onde C é constante de integração. Finalmente,
y = -x^2 + Cx

Resposta

y = Cx - x^2,; CinR

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