Resolva o PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse PVI juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial e uma condição inicial. A equação é:
E a condição inicial é $ y(1) = -1 $.
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente métodos para resolver equações exatas ou encontrar um fator integrante, se necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma $ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 $ é exata se:
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como $ x \neq 2x $ a menos que $ x = 0 $, a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Geralmente, procuramos um fator que dependa apenas de $ x $ ou apenas de $ y $.
Assumiremos que o fator integrante $ \mu(x) $ depende apenas de $ x $. Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) $:
Para que a equação seja exata, deve satisfazer:
Calculando:
Resolvendo para $ \mu’(x) $:
Separando variáveis:
Integrando ambos os lados:
Podemos escolher $ C = 1 $ para simplificar, então $ \mu(x) = \frac{1}{x} $.
Passo 4
Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrante $ \frac{1}{x} $:
Simplificando:
Agora, a equação é exata. Vamos encontrar uma função $ \Phi(x,y) $ tal que:
Integrando $ M(x,y) = y + x + \frac{1}{x} $ em relação a $ x $:
Derivando $ \Phi $ em relação a $ y $:
Comparando com $ N(x,y) = x $:
Podemos considerar a constante como zero. Então, a função potencial é:
Passo 5
Agora, igualamos $ \Phi(x,y) $ a uma constante $ C $:
Usando a condição inicial $ y(1) = -1 $, encontramos $ C $:
Então, a equação da solução é:
Resposta
A solução do PVI é dada por:
Simplificando: