Resolva o PVI
l (x y+x^2+1) d x+x^2 d y=0 y(1)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse PVI juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial e uma condição inicial. A equação é:
(x y + x^2 + 1) dx + x^2 dy = 0
E a condição inicial é $ y(1) = -1 $.
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente métodos para resolver equações exatas ou encontrar um fator integrante, se necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma $ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 $ é exata se:
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Aqui, temos:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Calculando as derivadas parciais:
M(x,y) = x y + x^2 + 1 e N(x,y) = x^2
Como $ x \neq 2x $ a menos que $ x = 0 $, a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Geralmente, procuramos um fator que dependa apenas de $ x $ ou apenas de $ y $.
Assumiremos que o fator integrante $ \mu(x) $ depende apenas de $ x $. Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) $:
x
Para que a equação seja exata, deve satisfazer:
y
Calculando:
mu(x)
Resolvendo para $ \mu’(x) $:
x
Separando variáveis:
mu(x)
Integrando ambos os lados:
mu(x)(x y + x^2 + 1) dx + mu(x) x^2 dy = 0
Podemos escolher $ C = 1 $ para simplificar, então $ \mu(x) = \frac{1}{x} $.

Passo 4

Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrante $ \frac{1}{x} $:
1x
Simplificando:
1x(x y + x^2 + 1) dx + 1x x^2 dy = 0
Agora, a equação é exata. Vamos encontrar uma função $ \Phi(x,y) $ tal que:
(y + x + 1x) dx + x dy = 0
Integrando $ M(x,y) = y + x + \frac{1}{x} $ em relação a $ x $:
Phi(x,y)
Derivando $ \Phi $ em relação a $ y $:
dPhi = (y + x + 1x) dx + x dy
Comparando com $ N(x,y) = x $:
M(x,y) = y + x + 1x
Podemos considerar a constante como zero. Então, a função potencial é:
x

Passo 5

Agora, igualamos $ \Phi(x,y) $ a uma constante $ C $:
Phi(x,y)
Usando a condição inicial $ y(1) = -1 $, encontramos $ C $:
C
Então, a equação da solução é:
yx + x^22 + ln x = C

Resposta

A solução do PVI é dada por:
y(x) = -12 - x^22 - ln xx
Simplificando:
y(x) = -12x - x2 - ln xx

Exercícios relacionados