Considere um recipiente de forma cilíndrica com base de área
e altura
, preenchido com um líquido.
O líquido escoa através de um pequeno orifício na base do cilindro.
Pela Lei de Torricelli, a velocidade do escoamento do líquido é proporcional à raiz quadrada da altura
do líquido no recipiente.
A vazão
do líquido (volume escoado por unidade de tempo) é dada por:
em que
é um coeficiente de descarga,
é a área do orifício do recipiente,
é a aceleração gravitacional,
é a altura do líquido no instante
.
Sabendo que o volume de líquido no recipiente é
mostre que a altura
obedece à equação diferencial:
em que
Resolva a equação diferencial para encontrar
em termos da altura inicial
.
Determine o tempo necessário para o recipiente esvaziar completamente o recipiente
.
O líquido escoa através de um pequeno orifício na base do cilindro.
Pela Lei de Torricelli, a velocidade do escoamento do líquido é proporcional à raiz quadrada da altura
A vazão
Sabendo que o volume de líquido no recipiente é
Determine o tempo necessário para o recipiente esvaziar completamente o recipiente
Passo 1
O enunciado fala de um cilindro de área da base
e altura de líquido
, escoando por um orifício de área
. Pela Lei de Torricelli temos uma vazão
. Vamos usar isso e a expressão do volume
para montar e resolver a EDO que descreve
.
Passo 2
Como o volume no tanque é
, a taxa de variação do volume é
. Essa vazão é negativa (o tanque esvazia), logo
Agora dividimos por
e definimos
ficando
Passo 3
Essa EDO é separável. Podemos escrever
Integrando os dois lados: à esquerda,
; à direita,
. Então
Para achar
, usamos a condição inicial
:
Passo 4
Substituindo
de volta, obtemos
ou seja
e ao quadrado:
Passo 5
Para esvaziar completamente temos
. Isso acontece quando
que dá
Resposta
A altura evolui segundo
onde
. O tempo para esvaziar totalmente (
) é