Considere um recipiente de forma cilíndrica com base de área A e altura h(t), preenchido com um líquido.
O líquido escoa através de um pequeno orifício na base do cilindro.
Pela Lei de Torricelli, a velocidade do escoamento do líquido é proporcional à raiz quadrada da altura h(t) do líquido no recipiente.
A vazão Q=d Vd t do líquido (volume escoado por unidade de tempo) é dada por:
Q=C Ao raiz2 g h(t)
em que C é um coeficiente de descarga,
Ao é a área do orifício do recipiente,
g é a aceleração gravitacional,
h(t) é a altura do líquido no instante t.
Sabendo que o volume de líquido no recipiente é
V(t)=A h(t)
mostre que a altura h(t) obedece à equação diferencial:
d hd t=-k h
em que
k=C Ao raiz2 gA
Resolva a equação diferencial para encontrar h(t) em termos da altura inicial h0.
Determine o tempo necessário para o recipiente esvaziar completamente o recipiente (h(t)=0).

Passo 1

O enunciado fala de um cilindro de área da base A e altura de líquido h(t), escoando por um orifício de área Ao. Pela Lei de Torricelli temos uma vazão Q = C Aoraiz2g h(t). Vamos usar isso e a expressão do volume V(t)=A,h(t) para montar e resolver a EDO que descreve h(t).

Passo 2

Como o volume no tanque é V(t)=A,h(t), a taxa de variação do volume é dVdt=Adhdt. Essa vazão é negativa (o tanque esvazia), logo
Adhdt = -,C,Aoraiz2g,h(t)
Agora dividimos por A e definimos
k = C,Aoraiz2gA,
ficando
dhdt = -,k,raizh(t)

Passo 3

Essa EDO é separável. Podemos escrever
dhraizh = -,k,dt
Integrando os dois lados: à esquerda, integral h^-1/2dh = 2raizh; à direita, integral -k,dt = -k,t + C1. Então
2raizh(t) = -k,t + C1
Para achar C1, usamos a condição inicial h(0)=h0:
2raizh0 = C1

Passo 4

Substituindo C1 de volta, obtemos
2raizh(t) = 2raizh0 - k,t
ou seja
raizh(t) = raizh0 - k2,t
e ao quadrado:
h(t) = l(raizh0 - tfrack2,tr)^2

Passo 5

Para esvaziar completamente temos h(T)=0. Isso acontece quando
raizh0 - k2,T = 0
que dá
T = 2,raizh0k

Resposta

A altura evolui segundo
h(t) = l(raizh0 - tfrack2,tr)^2,
onde k=tfracC,Aoraiz2gA. O tempo para esvaziar totalmente ( h(T)=0) é
T = 2raizh0k

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