Passo 1: A Energia de Fluxo (Trabalho da Pressão). Considere um "pistão"de fluido empurrando um volume V de fluido para dentro de um duto. A força que o pistão exerce é F=p A, onde p é a pressão e A é a área. Se o volume V é deslocado por uma distância L, o trabalho realizado é W=F \cdot L.
a) Sabendo que V=A \cdot L, substitua F e L na equação do trabalho para mostrar que W=p V.
b) O trabalho realizado é uma forma de energia. Qual é a “densidade de energia de fluxo”, ou seja, o trabalho por unidade de volume ( W / V )?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
  • A força exercida pelo pistão sobre a área do duto é \;F = p A\;, onde \;p\; é a pressão e \;A\; é a área.
  • O volume deslocado pelo pistão é \;V = A L\;, onde \;L\; é a distância percorrida pelo pistão.
  • O trabalho realizado pelo pistão é definido como \;W = F \cdot L\;.
Perguntas:
a) Usando as relações acima, mostrar que \;W = p V\;.
b) Calcular a densidade de energia de fluxo, ou seja, \;W/V\;.

Passo 2

Vamos lembrar o que cada coisa significa e as unidades — isso ajuda a entender por que a conta faz sentido.
  • Trabalho: por definição clássica, trabalho é força vezes deslocamento, isto é \;W = F \cdot L\;. Aqui \;W\; tem unidade de joule (\mathrm{J}).
  • Pressão: \;p\; é força por unidade de área, \;p = F/A\;. Unidade de pressão é pascal (\mathrm{Pa}), e \;1\\ \mathrm{Pa} = 1\\ \mathrm{N/m^2}.
  • Volume: \;V\; é área vezes comprimento, \;V = A L\;. Unidade de volume é metro cúbico (\mathrm{m^3}).
Observação útil: as unidades mostram que pressão pode ser vista como energia por volume, porque
\mathrm{Pa} = \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m^2}} = \frac{\mathrm{J}/\mathrm{m}}{\mathrm{m^2}} = \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m^3}}.
Mas vamos fazer a conta passo a passo para ver isso explicitamente.

Passo 3

Agora substituímos as expressões dadas na definição do trabalho. Começamos por escrever \;W = F \cdot L\; e substituir \;F = p A\; e \;L = V/A\; (obtido de \;V = A L\;, isolando \;L).
Primeiro escrevo \;L\; em função de \;V\; e \;A\;:
L = \frac{V}{A}.
Agora substituo em \;W = F\cdot L\;:
W = F\cdot L.
Substituindo \;F = pA\; e \;L = \dfrac{V}{A}\;:
W = (pA)\cdot\left(\frac{V}{A}\right).
Agora observe que \;A\; aparece multiplicando e dividindo, então cancela:
W = p \, \cancel{A} \cdot \frac{V}{\cancel{A}} = p V.
Pronto — isso mostra algebraicamente a relação pedida.

Passo 4

Agora a parte (b): densidade de energia de fluxo é o trabalho por unidade de volume, isto é \;W/V\;.
Usando o resultado da parte (a), \;W = pV\;, dividimos ambos os lados por \;V\;:
\frac{W}{V} = \frac{pV}{V} = p.
Ou seja, a densidade de energia (trabalho por volume) é numericamente igual à pressão \;p\;. Em termos de unidades, isso faz sentido porque \;\mathrm{Pa} = \mathrm{J/m^3}\;, então a pressão realmente representa energia por unidade de volume.
Comentário de incentivo: então, quando o enunciado pergunta “qual é o trabalho por volume?”, a resposta simpática é: é exatamente a pressão — coisa bonita e prática para decorar antes da prova!

Resposta

a) \;W = p V\;
b) \;\dfrac{W}{V} = p\;

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