Passo 1: A Energia de Fluxo (Trabalho da Pressão). Considere um "pistão"de fluido empurrando um volume
de fluido para dentro de um duto. A força que o pistão exerce é
, onde
é a pressão e
é a área. Se o volume
é deslocado por uma distância
, o trabalho realizado é
.
a) Sabendo que
, substitua
e
na equação do trabalho para mostrar que
.
b) O trabalho realizado é uma forma de energia. Qual é a “densidade de energia de fluxo”, ou seja, o trabalho por unidade de volume (
)?
a) Sabendo que
b) O trabalho realizado é uma forma de energia. Qual é a “densidade de energia de fluxo”, ou seja, o trabalho por unidade de volume (
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
- A força exercida pelo pistão sobre a área do duto é
, onde é a pressão e é a área. - O volume deslocado pelo pistão é
, onde é a distância percorrida pelo pistão. - O trabalho realizado pelo pistão é definido como
.
Perguntas:
a) Usando as relações acima, mostrar que .
b) Calcular a densidade de energia de fluxo, ou seja, .
a) Usando as relações acima, mostrar que
b) Calcular a densidade de energia de fluxo, ou seja,
Passo 2
Vamos lembrar o que cada coisa significa e as unidades — isso ajuda a entender por que a conta faz sentido.
- Trabalho: por definição clássica, trabalho é força vezes deslocamento, isto é
. Aqui tem unidade de joule . - Pressão:
é força por unidade de área, . Unidade de pressão é pascal , e . - Volume:
é área vezes comprimento, . Unidade de volume é metro cúbico .
Observação útil: as unidades mostram que pressão pode ser vista como energia por volume, porque
Mas vamos fazer a conta passo a passo para ver isso explicitamente.
Passo 3
Agora substituímos as expressões dadas na definição do trabalho. Começamos por escrever
e substituir
e
(obtido de
, isolando
).
Primeiro escrevo
em função de
e
:
Agora substituo em
:
Substituindo
e
:
Agora observe que
aparece multiplicando e dividindo, então cancela:
Pronto — isso mostra algebraicamente a relação pedida.
Passo 4
Agora a parte (b): densidade de energia de fluxo é o trabalho por unidade de volume, isto é
.
Usando o resultado da parte (a),
, dividimos ambos os lados por
:
Ou seja, a densidade de energia (trabalho por volume) é numericamente igual à pressão
. Em termos de unidades, isso faz sentido porque
, então a pressão realmente representa energia por unidade de volume.
Comentário de incentivo: então, quando o enunciado pergunta “qual é o trabalho por volume?”, a resposta simpática é: é exatamente a pressão — coisa bonita e prática para decorar antes da prova!
Resposta
a)
b)
b)