Paulo deve enfrentar em um torneio dois outros jogadores, João e Mário. Considere os eventos A: Paulo vence João e B: Paulo vence Mário. Os resultados dos jogos são eventos independentes. Sabendo que a probabilidade de Paulo vencer ambos os jogadores é
e a probabilidade de ele ganhar de João é
, determine a probabilidade de Paulo perder dos dois jogadores, João e Mário.
Passo 1
O enunciado define dois eventos relacionados aos jogos de Paulo:
-
: Paulo vence João. -
: Paulo vence Mário.
Informações dadas:
-
(probabilidade de Paulo vencer ambos). -
(probabilidade de Paulo vencer João). - Os resultados dos jogos são eventos independentes (ou seja,
e são independentes).
O que o enunciado pede:
- Determinar a probabilidade de Paulo perder dos dois jogadores, isto é,
.
Passo 2
Relembrando o conceito chave (explicação didática):
- Dois eventos
e são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. A definição matemática é
Aqui já nos disseram que
e
são independentes, então podemos usar essa fórmula sem medo.
Passo 3
Usar a definição de independência para calcular
. Como
podemos isolar
(supondo
, o que é verdade pois
):
Passo 4
Substituir os valores numéricos dados:
Fazendo a divisão de frações (dividir por
é multiplicar por
):
Portanto
.
Passo 5
Queremos
, a probabilidade de perder ambos. Primeiro calculemos as probabilidades dos complementos individuais:
Passo 6
Importante propriedade útil (explicação didática):
- Se
e são independentes, então os complementos também são independentes. Assim
Essa propriedade decorre diretamente da definição e das regras de probabilidade; intuitivamente, a independência significa que saber que
não ocorreu não afeta a chance de
ocorrer, e vice-versa.
Passo 7
Calcular o produto dos complementos usando os valores obtidos: