Paulo deve enfrentar em um torneio dois outros jogadores, João e Mário. Considere os eventos A: Paulo vence João e B: Paulo vence Mário. Os resultados dos jogos são eventos independentes. Sabendo que a probabilidade de Paulo vencer ambos os jogadores é 2 / 5 e a probabilidade de ele ganhar de João é 3 / 5, determine a probabilidade de Paulo perder dos dois jogadores, João e Mário.

Passo 1

O enunciado define dois eventos relacionados aos jogos de Paulo:
  • A: Paulo vence João.
  • B: Paulo vence Mário.
Informações dadas:
  • P(A\cap B)=\dfrac{2}{5} (probabilidade de Paulo vencer ambos).
  • P(A)=\dfrac{3}{5} (probabilidade de Paulo vencer João).
  • Os resultados dos jogos são eventos independentes (ou seja, A e B são independentes).
O que o enunciado pede:
  • Determinar a probabilidade de Paulo perder dos dois jogadores, isto é, P(A^{c}\cap B^{c}).

Passo 2

Relembrando o conceito chave (explicação didática):
  • Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. A definição matemática é
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
Aqui já nos disseram que A e B são independentes, então podemos usar essa fórmula sem medo.

Passo 3

Usar a definição de independência para calcular P(B). Como
P(A\cap B)=P(A)\,P(B),
podemos isolar P(B) (supondo P(A)>0, o que é verdade pois P(A)=\dfrac{3}{5}):
P(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos dados:
P(B)=\frac{\dfrac{2}{5}}{\dfrac{3}{5}}.
Fazendo a divisão de frações (dividir por \dfrac{3}{5} é multiplicar por \dfrac{5}{3}):
P(B)=\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{5}{3}=\dfrac{2}{3}.
Portanto P(B)=\dfrac{2}{3}.

Passo 5

Queremos P(A^{c}\cap B^{c}), a probabilidade de perder ambos. Primeiro calculemos as probabilidades dos complementos individuais:
P(A^{c})=1-P(A)=1-\dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{5},
P(B^{c})=1-P(B)=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}.

Passo 6

Importante propriedade útil (explicação didática):
  • Se A e B são independentes, então os complementos também são independentes. Assim
P(A^{c}\cap B^{c})=P(A^{c})\,P(B^{c}).
Essa propriedade decorre diretamente da definição e das regras de probabilidade; intuitivamente, a independência significa que saber que A não ocorreu não afeta a chance de B ocorrer, e vice-versa.

Passo 7

Calcular o produto dos complementos usando os valores obtidos:
P(A^{c}\cap B^{c})=P(A^{c})\,P(B^{c})=\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{15}.

Resposta

\dfrac{2}{15}

Exercícios relacionados