PD2.5 Um navio, transportando uma carga de aço, está preso flutuando em uma pequena eclusa fechada. Os membros da tripulação querem sair do navio, mas não podem alcançar o topo da parede da eclusa. Um membro da tripulação sugere lançar o aço na água dentro da eclusa, argumentando que o navio subirá e assim eles poderão sair. Esse plano funcionará?

Passo 1

O enunciado trata de um navio com carga de aço flutuando dentro de uma eclusa fechada. Queremos saber se, ao jogar o aço na água da eclusa, o navio sobe o bastante para que a tripulação alcance o topo da parede. O conteúdo central é o Princípio de Arquimedes e o equilíbrio de forças de empuxo e peso.

Passo 2

Inicialmente, peso total apoiado pelo navio é
P_{\text{tot}} = P_{\text{navio}} + P_{\text{aço}},ç
e o volume de água deslocado satisfaz
\rho_{\text{água}}\,V_0 = P_{\text{navio}} + P_{\text{aço}}.áç

Passo 3

Se o aço for lançado fora do navio, o novo peso apoiado pelo casco passa a ser
P'_{\text{navio}} = P_{\text{navio}}
e o novo volume de água deslocado pelo navio é
V_{\text{navio}} = \frac{P_{\text{navio}}}{\rho_{\text{água}}}.á
A redução de volume deslocado pelo navio é
\Delta V_{\text{navio}} = V_0 - V_{\text{navio}} = \frac{P_{\text{aço}}}{\rho_{\text{água}}}.çá

Passo 4

O aço lançado afunda e passa a deslocar diretamente um volume
V_{\text{aço}} = \frac{P_{\text{aço}}}{\rho_{\text{aço}}},ççç
com \rho_{\text{aço}}>\rho_{\text{água}}çá.

Passo 5

O volume total de água deslocado após jogar o aço é
V_{\text{tot}} = V_{\text{navio}} + V_{\text{aço}}ç
e a variação de volume deslocado em relação à situação inicial é
\Delta V_{\text{tot}} = V_{\text{tot}} - V_{0} = \frac{P_{\text{aço}}}{\rho_{\text{aço}}} - \frac{P_{\text{aço}}}{\rho_{\text{água}}} < 0.çççá
Ou seja, a eclusa passa a ter menos água deslocada e o nível d’água cai.

Passo 6

O navio, por ter perdido o peso do aço, sobe em relação ao nível d’água. A altura de subida do casco é
\Delta h_{\text{navio}} = \frac{\Delta V_{\text{navio}}}{A_{\text{wp}}} = \frac{P_{\text{aço}}}{\rho_{\text{água}}\,A_{\text{wp}}},çá
onde A_{\text{wp}} é a área do plano d’água do navio. O nível da água na eclusa cai de
\Delta h_{\text{água}} = -\,\frac{\Delta V_{\text{tot}}}{A_{\text{eclusa}}} = \frac{P_{\text{aço}}}{\rho_{\text{água}}\,A_{\text{eclusa}}} - \frac{P_{\text{aço}}}{\rho_{\text{aço}}\,A_{\text{eclusa}}},áçáçç
sendo A_{\text{eclusa}} a área da seção interna da eclusa.

Passo 7

A distância entre o convés do navio e o topo da parede diminui em
\Delta h_{\text{convés/topo}} = \Delta h_{\text{água}} - \Delta h_{\text{navio}} = \frac{P_{\text{aço}}}{\rho_{\text{água}}} \Bigl(\tfrac{1}{A_{\text{eclusa}}}-\tfrac{1}{A_{\text{wp}}}\Bigr) + \frac{P_{\text{aço}}}{\rho_{\text{aço}}\,A_{\text{eclusa}}}.éáçáçç
Como normalmente A_{\text{eclusa}}\ge A_{\text{wp}} e \rho_{\text{aço}}>\rho_{\text{água}}çá, esse valor é positivo, ou seja, o convés fica mais próximo do topo.

Resposta

Sim. ao jogar o aço na água, o navio sobe um pouco mais do que o nível da água cai, aproximando o convés da borda da eclusa (embora a subida seja pequena).

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