Um tubo delgado de cobre, com raio
, é usado para transportar uma substância refrigerante que está a uma temperatura
, menor do que a temperatura do ambiente
ao redor do tubo. Existe uma espessura ótima associada à aplicação de uma camada de isolamento térmico sobre o tubo com
e
?
Passo 1
O enunciado trata de um tubo cilíndrico de raio interno
transportando fluido mais frio que o ambiente. Queremos saber se existe uma espessura ótima de isolamento, dado coeficiente de convecção
e condutividade térmica do isolante
. O conteúdo envolvido é a determinação do raio crítico de isolamento em problemas cilíndricos de condução-convecção, usando a resistência térmica total.
Passo 2
Escrevemos a resistência térmica total
por unidade de comprimento
como soma da convecção externa e da condução radial no isolante:
onde
é o raio externo após a aplicação do isolante.
Passo 3
Para encontrar o raio
que maximiza
(isto é, minimiza a troca de calor), derivamos
em relação a
e igualamos a zero. O ponto crítico satisfaz
Passo 4
Portanto o raio ótimo externo é
A espessura ótima do isolamento é
desde que
. Se o tubo já tiver raio maior que
, qualquer isolamento diminui sempre a transferência de calor.
Resposta
A espessura ótima é