Um tubo delgado de cobre, com raio \mathrm{r}_{\mathrm{i}}, é usado para transportar uma substância refrigerante que está a uma temperatura \mathrm{T}_{\mathrm{i}}, menor do que a temperatura do ambiente \mathrm{T}_{\infty} ao redor do tubo. Existe uma espessura ótima associada à aplicação de uma camada de isolamento térmico sobre o tubo com \mathrm{h}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K} e \mathrm{k}=0,055 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ?

Passo 1

O enunciado trata de um tubo cilíndrico de raio interno \mathrm{r}_{i} transportando fluido mais frio que o ambiente. Queremos saber se existe uma espessura ótima de isolamento, dado coeficiente de convecção h=5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K} e condutividade térmica do isolante k=0,055\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}. O conteúdo envolvido é a determinação do raio crítico de isolamento em problemas cilíndricos de condução-convecção, usando a resistência térmica total.

Passo 2

Escrevemos a resistência térmica total R_{\mathrm{tot}} por unidade de comprimento L como soma da convecção externa e da condução radial no isolante:
R_{\mathrm{tot}} = \frac{1}{h\,(2\pi r_o L)} + \frac{1}{2\pi k L}\ln\!\biggl(\frac{r_o}{r_i}\biggr)
onde r_o é o raio externo após a aplicação do isolante.

Passo 3

Para encontrar o raio r_o que maximiza R_{\mathrm{tot}} (isto é, minimiza a troca de calor), derivamos R_{\mathrm{tot}} em relação a r_o e igualamos a zero. O ponto crítico satisfaz
\frac{\partial R_{\mathrm{tot}}}{\partial r_o}=0 \;\Longrightarrow\; r_o = \frac{k}{h}.

Passo 4

Portanto o raio ótimo externo é
r_{\mathrm{opt}} = \frac{k}{h} = \frac{0,055}{5} = 0{,}011\\ \mathrm{m}.
A espessura ótima do isolamento é
e_{\mathrm{opt}} = r_{\mathrm{opt}} - r_i = 0{,}011 - r_i\quad(\mathrm{m}),
desde que r_i<0{,}011\\ \mathrm{m}. Se o tubo já tiver raio maior que 0{,}011\\ \mathrm{m}, qualquer isolamento diminui sempre a transferência de calor.

Resposta

A espessura ótima é
e_{\mathrm{opt}} = \frac{k}{h} - r_i = 0{,}011 - r_i\\ \mathrm{m}.

Exercícios relacionados