PD2.3 Considere uma superfície curva submersa que consiste em um arco de círculo bidimensional de ângulo arbitrário, profundidade arbitrária e orientação arbitrária. Mostre que a força causada pela pressão hidrostática resultante nessa superfície deve passar pelo centro de curvatura do arco.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um arco de círculo submerso qualquer (raio R, ângulo e profundidade arbitrários, orientação qualquer), a força resultante da pressão hidrostática tem sua linha de ação passando pelo centro de curvatura do arco. O que vamos usar é o conceito de força diferencial da pressão e o cálculo do momento dessa força em relação ao centro de curvatura.

Passo 2

Escolhemos o centro de curvatura O como origem e coordenadas polares locais. Em cada ponto do arco temos
\mathbf{r}=R\,\mathbf{e}_r,
onde \mathbf{e}_r é o versor radial. A pressão hidrostática é
p=\rho\,g\,h(\theta),
sendo h(\theta) a profundidade (escalar) que pode variar com o ângulo \theta. O elemento de superfície (linha, em 2D) é
dS=R\,d\theta
e o normal à superfície é \mathbf{n}=\mathbf{e}_r. Logo o diferencial de força é
\mathbf{dF}=p\,\mathbf{n}\,dS =\rho\,g\,h(\theta)\;\mathbf{e}_r\;(R\,d\theta).

Passo 3

O momento dessa força diferencial em relação a O é
d\mathbf{M}_O =\mathbf{r}\times\mathbf{dF} =R\,\mathbf{e}_r\times\bigl(\rho\,g\,h(\theta)\,R\,\mathbf{e}_r\,d\theta\bigr) =0,
pois \mathbf{e}_r\times\mathbf{e}_r=0. Integrando sobre todo o arco fica
\mathbf{M}_O=\int d\mathbf{M}_O=0.
Como o momento resultante em O é nulo, a linha de ação da força resultante passa por O.

Resposta

A força hidrostática resultante em um arco de círculo submerso passa pelo centro de curvatura do arco.

Exercícios relacionados