PD2.3 Considere uma superfície curva submersa que consiste em um arco de círculo bidimensional de ângulo arbitrário, profundidade arbitrária e orientação arbitrária. Mostre que a força causada pela pressão hidrostática resultante nessa superfície deve passar pelo centro de curvatura do arco.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um arco de círculo submerso qualquer (raio
, ângulo e profundidade arbitrários, orientação qualquer), a força resultante da pressão hidrostática tem sua linha de ação passando pelo centro de curvatura do arco. O que vamos usar é o conceito de força diferencial da pressão e o cálculo do momento dessa força em relação ao centro de curvatura.
Passo 2
Escolhemos o centro de curvatura
como origem e coordenadas polares locais. Em cada ponto do arco temos
onde
é o versor radial. A pressão hidrostática é
sendo
a profundidade (escalar) que pode variar com o ângulo
. O elemento de superfície (linha, em 2D) é
e o normal à superfície é
. Logo o diferencial de força é
Passo 3
O momento dessa força diferencial em relação a
é
pois
. Integrando sobre todo o arco fica
Como o momento resultante em
é nulo, a linha de ação da força resultante passa por
.
Resposta
A força hidrostática resultante em um arco de círculo submerso passa pelo centro de curvatura do arco.