Uma peça metálica foi retirada do forno após um tratamento térmico e se encontra a temperatura de 100^circ C. Foi colocada em um reservatório com água à 50^circ C e, após 10 minutos, a temperatura da peça e da água passam a ser 80^circ C e 60^circ C, respectivamente. Considere que todo o calor cedido pela peça é absorvido e mantido pela água.
a) Calcule depois de quanto tempo a temperatura da peça será 75^circ C.
b) Determine a temperatura de equilíbrio.

Passo 1

O enunciado: temos uma peça metálica inicialmente a 100^circC e água a 50^circC. Após 10 min, a peça está a 80^circC e a água a 60^circC. O conteúdo é transferência de calor entre dois corpos com capacidade térmica (modelo de corpos de massa uniforme), usando equações diferenciais e conservação de energia.

Passo 2

Modelando cada corpo como um “lumped system”, escrevemos as equações de transferência de calor:
CmdTmdt=-hAl(Tm-Twr), CwdTwdt=+hAl(Tm-Twr)
Também vale a conservação de energia interna total:
S0=CmTm+CwTw=constante
Definindo a diferença x(t)=Tm(t)-Tw(t), obtemos uma equação simples
x(t)=x(0)e^-kt,
com x(0)=100-50=50 e k=hAl(1/Cm+1/Cwr).

Passo 3

Usando o dado de 10 min para a diferença de temperaturas, temos
x(10)=80-60=20=50e^-10k implies e^-10k=0.4 implies k=-110ln(0.4)approx0.09163,/min

Passo 4

Pela conservação de energia em t=10:
Cmcdot80+Cwcdot60=Cmcdot100+Cwcdot50
Desenvolvendo: 80Cm+60Cw=100Cm+50Cw leva a 10Cw=20Cm e, portanto,
CwCm=2

Passo 5

A temperatura de equilíbrio Teq é dada por
Teq=Cm,100+Cw,50Cm+Cw=100+2cdot501+2=2003approx66.7^circC

Passo 6

Para encontrar o tempo em que Tm=75^circC, usamos a solução geral
$$T_m(t)=T_{eq}+(T_m(0)-T_{eq})e{-kt}=\frac{200}{3}+\Bigl(100-\frac{200}{3}\Bigr)e{-kt}.
Tm(t)=Teq+(Tm(0)-Teq)e^-kt=2003+l(100-2003r)e^-kt e^{-kt}=\frac{75-66.667}{33.333}=0.25 \implies t=\frac{\ln(4)}{k}\approx\frac{1.3863}{0.09163}\approx15.1,min.$$

Resposta

a) Aproximadamente 15,1 minutos.
b) Temperatura de equilíbrio approx66,7^circC.

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