Uma peça metálica foi retirada do forno após um tratamento térmico e se encontra a temperatura de
. Foi colocada em um reservatório com água à
e, após 10 minutos, a temperatura da peça e da água passam a ser
e
, respectivamente. Considere que todo o calor cedido pela peça é absorvido e mantido pela água.
a) Calcule depois de quanto tempo a temperatura da peça será
.
b) Determine a temperatura de equilíbrio.
a) Calcule depois de quanto tempo a temperatura da peça será
b) Determine a temperatura de equilíbrio.
Passo 1
O enunciado: temos uma peça metálica inicialmente a
e água a
. Após 10 min, a peça está a
e a água a
. O conteúdo é transferência de calor entre dois corpos com capacidade térmica (modelo de corpos de massa uniforme), usando equações diferenciais e conservação de energia.
Passo 2
Modelando cada corpo como um “lumped system”, escrevemos as equações de transferência de calor:
Também vale a conservação de energia interna total:
Definindo a diferença
, obtemos uma equação simples
com
Passo 3
Usando o dado de 10 min para a diferença de temperaturas, temos
Passo 4
Pela conservação de energia em
:
Desenvolvendo:
Passo 5
A temperatura de equilíbrio
é dada por
Passo 6
Para encontrar o tempo em que
, usamos a solução geral
$$T_m(t)=T_{eq}+(T_m(0)-T_{eq})e{-kt}=\frac{200}{3}+\Bigl(100-\frac{200}{3}\Bigr)e{-kt}.
Resposta
a) Aproximadamente 15,1 minutos.
b) Temperatura de equilíbrio .
b) Temperatura de equilíbrio