Considere que um reservatório contém 2000 litros de uma solução contendo 40.000 g de um soluto. É despejada no tanque, à uma vazão de 1 L / min, uma solução do mesmo soluto com concentração de 0,1 kg / L. A mistura é mantida homogênea e simultaneamente retirada, à vazão de 2 litros por minuto.
a) Qual a quantidade e a concentração de soluto no tanque em um tempo t qualquer.
b) Qual o comportamento da quantidade de soluto e da concentração ao longo do tempo.

Passo 1

O enunciado diz que temos um tanque com volume inicial de 2000 L e massa inicial de soluto de 40 000 g (ou 40 kg). Entra no tanque uma solução com vazão de 1 L/min e concentração de 0,1 kg/L, e sai solução à vazão de 2 L/min, mantendo a mistura homogênea. O conteúdo é um problema de EDO de mistura (taxa de variação de massa de soluto).

Passo 2

Chamamos de Q(t) a quantidade de soluto (em kg) no tanque no instante t (min). O volume do tanque varia segundo V(t)=2000−t, pois entra 1 L/min e sai 2 L/min. A equação de balanço de soluto é
dQdt=underbrace1times0.1entrada (kg/min)-underbrace2timesQ(t)V(t)saída (kg/min)=0.1-2Q2000-tí

Passo 3

Para resolver a EDO linear de coeficiente variável, calculamos o fator integrante
mu(t)=expl(integral22000-tdtr)=expl(-2ln(2000-t)r)=(2000-t)^-2Multiplicando a equação por μ(t) e integrando:
ddtl(Q,μ(t)r)=0.1,μ(t)
$$
Q, (2000-t)^{-2}=\int0.1, (2000-t)^{-2}dt=\frac{0.1}{2000-t}+C. Q, (2000-t)^-2=integral0.1, (2000-t)^-2dt=0.12000-t+C
Q(t)=0.1(2000-t)+C, (2000-t)^2.$$

Passo 4

Aplicamos a condição inicial Q(0)=40 kg para achar C:
$$
40=0.1\cdot2000+C\cdot20002\implies40=200+4\times106C\implies C=-\frac{160}{4\times106}=-4\times10{-5}.$$Portanto
$$
Q(t)=0.1(2000-t)-4\times10{-5}(2000-t)2 40=0.1cdot2000+Ccdot2000^2implies40=200+4times10^6Cimplies C=-1604times10^6=-4times10^-5
Q(t)=40+0.06t-0.00004t^2\quad(em kg).$$

Passo 5

O volume no tempo t é
$$
V(t)=2000-t\quad(em L), V(t)=2000-t(em L),çãé
C(t)=\frac{Q(t)}{V(t)}=\frac{40+0.06t-0.00004t^2}{2000-t}.$$

Passo 6

A quantidade Q(t) é uma parábola côncava para baixo, que atinge valor máximo quando t= 0.062cdot0.00004=750 min, e depois decresce até zero em t=2000 min. A concentração C(t) cresce monotonamente para o infinito conforme o volume tende a zero (t→2000 min).

Resposta

Q(t)=40+0.06,t-0.00004,t^2 (kg) e C(t)=dfrac40+0.06,t-0.00004,t^22000-t (kg/L). A massa de soluto aumenta até t=750 min e depois diminui até zero em t=2000 min; a concentração aumenta monotonicamente para infinito conforme o tanque esvazia.

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