Considere que um reservatório contém 2000 litros de uma solução contendo 40.000 g de um soluto. É despejada no tanque, à uma vazão de , uma solução do mesmo soluto com concentração de . A mistura é mantida homogênea e simultaneamente retirada, à vazão de 2 litros por minuto.
a) Qual a quantidade e a concentração de soluto no tanque em um tempo qualquer.
b) Qual o comportamento da quantidade de soluto e da concentração ao longo do tempo.
Passo 1
O enunciado diz que temos um tanque com volume inicial de 2000 L e massa inicial de soluto de 40 000 g (ou 40 kg). Entra no tanque uma solução com vazão de 1 L/min e concentração de 0,1 kg/L, e sai solução à vazão de 2 L/min, mantendo a mistura homogênea. O conteúdo é um problema de EDO de mistura (taxa de variação de massa de soluto).
Passo 2
Chamamos de Q(t) a quantidade de soluto (em kg) no tanque no instante t (min). O volume do tanque varia segundo V(t)=2000−t, pois entra 1 L/min e sai 2 L/min. A equação de balanço de soluto é
Passo 3
Para resolver a EDO linear de coeficiente variável, calculamos o fator integrante
mu(t)=expl(integral22000-tdtr)=expl(-2ln(2000-t)r)=(2000-t)^-2Multiplicando a equação por μ(t) e integrando:
ddtl(Q,μ(t)r)=0.1,μ(t)
$$
Q, (2000-t)^{-2}=\int0.1, (2000-t)^{-2}dt=\frac{0.1}{2000-t}+C. Q, (2000-t)^-2=integral0.1, (2000-t)^-2dt=0.12000-t+C
Q(t)=0.1(2000-t)+C, (2000-t)^2.$$
Passo 4
Aplicamos a condição inicial Q(0)=40 kg para achar C:
A quantidade Q(t) é uma parábola côncava para baixo, que atinge valor máximo quando t=0.062cdot0.00004=750 min, e depois decresce até zero em t=2000 min. A concentração C(t) cresce monotonamente para o infinito conforme o volume tende a zero (t→2000 min).
Resposta
Q(t)=40+0.06,t-0.00004,t^2 (kg) e C(t)=dfrac40+0.06,t-0.00004,t^22000-t (kg/L). A massa de soluto aumenta até t=750 min e depois diminui até zero em t=2000 min; a concentração aumenta monotonicamente para infinito conforme o tanque esvazia.