O censo realizado em uma pequena cidade do interior de Minas Gerais precisa avaliar a taxa de crescimento populacional. Com isso, se
denota determinada população em função do tempo, então a quantidade
é chamada de taxa de crescimento populacional no instante
.
a) Um modelo matemático para avaliar o crescimento populacional, considera que a taxa de crescimento é constante igual a
, se a população no instante inicial é p0, determine a população em um instante
qualquer.
b) Um outro modelo matemático foi utilizado, no qual a taxa de crescimento populacional é controlada pelo número máximo de indivíduos que podem coexistir, em condições ideais. Se
é este número, então a taxa de crescimento populacional é proporcional à
Determine a população em um instante
qualquer, sabendo que
.
a) Um modelo matemático para avaliar o crescimento populacional, considera que a taxa de crescimento é constante igual a
b) Um outro modelo matemático foi utilizado, no qual a taxa de crescimento populacional é controlada pelo número máximo de indivíduos que podem coexistir, em condições ideais. Se
Passo 1
O enunciado pede para encontrar p(t) em dois modelos de crescimento populacional: no (a) exponencial, onde a taxa p’(t)/p(t) é constante igual a λ, e no (b) logístico, onde essa taxa é proporcional a
. Vamos usar como matéria principais equações diferenciais de separação de variáveis.
Passo 2
Para o modelo exponencial, escrevemos
. Separamos variáveis:
Integramos ambos os lados:
Aplicando a condição inicial
, temos
. Logo,
Passo 3
No modelo logístico, temos
, isto é
. Separamos variáveis:
Fazendo frações parciais:
Logo,
Reorganizando,
Resposta
a)
b)
b)