O censo realizado em uma pequena cidade do interior de Minas Gerais precisa avaliar a taxa de crescimento populacional. Com isso, se p(t) denota determinada população em função do tempo, então a quantidade p^prime(t) / p(t) é chamada de taxa de crescimento populacional no instante t.
a) Um modelo matemático para avaliar o crescimento populacional, considera que a taxa de crescimento é constante igual a lambda, se a população no instante inicial é p0, determine a população em um instante t qualquer.
b) Um outro modelo matemático foi utilizado, no qual a taxa de crescimento populacional é controlada pelo número máximo de indivíduos que podem coexistir, em condições ideais. Se N é este número, então a taxa de crescimento populacional é proporcional à (1-pN) Determine a população em um instante t qualquer, sabendo que p(0)=p 0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar p(t) em dois modelos de crescimento populacional: no (a) exponencial, onde a taxa p’(t)/p(t) é constante igual a λ, e no (b) logístico, onde essa taxa é proporcional a 1-pN. Vamos usar como matéria principais equações diferenciais de separação de variáveis.

Passo 2

Para o modelo exponencial, escrevemos dpdt=lambda p. Separamos variáveis:
1p,dp=lambda,dt
Integramos ambos os lados:
integral1p,dp=integrallambda,dtimplies ln|p|=lambda t+C
Aplicando a condição inicial p(0)=p0, temos C=ln p0. Logo,
ln p=lambda t+ln p0implies p(t)=p0e^lambda t

Passo 3

No modelo logístico, temos p'p=lambdal(1-tfracpNr), isto é dpdt=lambda pl(1-pNr). Separamos variáveis:
dpp(1-p/N)=lambda,dt
Fazendo frações parciais:
1p(1-p/N)=1p+1N-p
Logo,
integrall(1p+1N-pr)dp=integrallambda,dtimplies ln|p|-ln|N-p|=lambda t+C
Reorganizando,
lnpN-p=lambda t+Cimplies pN-p=Ae^lambda t, onde A=e^C. Usando p(0)=p0, temos A=tfracp0N-p0. Assim,
p(t)=N1+l(tfracN-p0p0r)e^-lambda t

Resposta

a) p(t)=p0e^lambda t
b) p(t)=N1+l(N-p0p0r)e^-lambda t

Exercícios relacionados