Calcule o valor de , caso exista. Se não existir, justifique
Passo 1
O enunciado pede para calcular limxto1g(x), onde g(x) é dada por partes. O conteúdo envolve limite de função definida por partes, manipulação de valor absoluto, fatoração de x^2-1 e limite trigonométrico padrão.
Passo 2
Para x<1, temos |x-1|=1-x e x^2-1=(x-1)(x+1). Assim:
|x-1|x^2-1=1-x(x-1)(x+1)=-1x+1
Portanto, o limite à esquerda é
limxto1^-g(x)=-11+1=-tfrac12
Passo 3
Para x>1, usamos sin(1-x)=-sin(x-1) e x^2-1=(x-1)(x+1). Logo:
Os limites laterais coincidem e valem -tfrac12, logo limxto1g(x)=-tfrac12. Note que g(1)=1 é diferente do limite, caracterizando uma descontinuidade removível.