( 0,4 pts ) Calcule o valor de lim x 1 g(x), caso exista. Se não existir, justifique
g(x)=ll |x-1|x^2-1 & se x<1 1 & se x=1 sen(1-x)x^2-1 & se x>1

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto1g(x), onde g(x) é dada por partes. O conteúdo envolve limite de função definida por partes, manipulação de valor absoluto, fatoração de x^2-1 e limite trigonométrico padrão.

Passo 2

Para x<1, temos |x-1|=1-x e x^2-1=(x-1)(x+1). Assim:
|x-1|x^2-1=1-x(x-1)(x+1)=-1x+1
Portanto, o limite à esquerda é
limxto1^-g(x)=-11+1=-tfrac12

Passo 3

Para x>1, usamos sin(1-x)=-sin(x-1) e x^2-1=(x-1)(x+1). Logo:
sin(1-x)x^2-1=-sin(x-1)(x-1)(x+1)=-sin(x-1)x-1cdot1x+1
Como limuto0sin uu=1 e x+1to2, temos
limxto1^+g(x)=-1cdot12=-tfrac12

Passo 4

Os limites laterais coincidem e valem -tfrac12, logo limxto1g(x)=-tfrac12. Note que g(1)=1 é diferente do limite, caracterizando uma descontinuidade removível.

Resposta

-\tfrac12

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