Para uma peça plana de cobre de seção transversal 120 cm^2 e comprimento de 32,4 cm. supostamente isolada lateralmente. Sabe-se que esta peça está submetida a um perfil de temperaturas dado pela equaçāo t=197-293,21 x ^circ C e que o coeficiente de condutividade do cobre a 200 ^circ C é 322 kcal / m h ^circ C a 100 ^circ C é 326 kcal / m h ^circ C e a 0 ^circ C é de 332 kcal / m h ^circ C. Pede-se: b) a quantidade de calor transmitida, em 3 horas e 25 minutos, pela peça.

Passo 1

Então, o problema diz que temos uma peça de cobre, seção transversal de t(x) ;=; 197 ;-; 293,21,x[^circ C], ,cm² e comprimento de k(0^circ C)=332, k(100^circ C)=326, k(200^circ C)=322 [kcal/(mcdot hcdot^circ C)] ,cm, com as laterais isoladas. A temperatura varia ao longo do comprimento segundo
e a condutividade térmica do cobre varia com a temperatura:
Em 3 h 25 min queremos saber a quantidade de calor que passou pela peça.
Conteúdo: condução de calor unidimensional com variável. Vamos precisar de:
  1. Expressar como função de (interpolação linear).
  2. Usar a lei de Fourier para fluxo de calor e integrar.
  3. Multiplicar pela duração para achar o total de calor.

Passo 2

Primeiro, escrevemos 322-332200-0 ;=; -0,05, como função linear de k(T) ;=; 332 ;-; 0,05,T . Como cai de 332 a 322 quando vai de 0 a 200, a inclinação é
então

Passo 3

Na condução unidimensional com temperatura linear, a taxa de calor (potência) é
dot Q ;=; A integralT2^T1 k(T), dT,
onde
T1 = t(0)=197^circ C, T2 = t(L)=197 - 293,21cdot 0,324 approx 102^circ C,
e integral102^197(332-0,05T), dT =l[332,T -0,025,T^2r]102^197 cm²= &332cdot 197 -0,025cdot197^2 =65404 -970,225=64433,775, &332cdot 102 -0,025cdot102^2 =33864 -260,1=33603,9, &De m².
Então calculamos a integral:
dot Q = A;De
Vamos aos números:
Então

Passo 4

Agora convertemos 3 h 25 min em horas:
3,4167; h
A energia total é
Q = dot Q times t approx 369,96 times 3,4167 approx 1264,2;kcal

Resposta

A quantidade de calor transmitida em 3 h 25 min é aproximadamente .

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